선호관계와 공리

$u(x_1, x_2) = x_1^{0.4} x_2^{0.6}$ 인 콥-더글러스 소비자가 있다.

두 묶음 $A = (4, 3)$ , $B = (3, 5)$ 의 효용을 직접 계산하고 어느 쪽이 더 선호되는지 판정하라.

x \succsim y \iff u(x) \ge u(y)

a = 0.4

A = (4, 3)

B = (3, 5)

— 무차별곡선 2개와 판정.

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로그를 취하면 $a = 0.4$ 일 때 $\ln u = 0.4 \ln x_1 + 0.6 \ln x_2$ 이다.
$A$ 에 대해 $\ln u(A) = 0.4 \ln 4 + 0.6 \ln 3 \approx 0.5545 + 0.6592 = 1.2137$ 이므로 $u(A) \approx 3.37$ 이다.
$B$ 에 대해 $\ln u(B) = 0.4 \ln 3 + 0.6 \ln 5 \approx 0.4394 + 0.9657 = 1.4051$ 이므로 $u(B) \approx 4.08$ 이다. $u(B) > u(A)$ 이므로 $B \succ A$ — 그림에서 $B$ 를 지나는 점선 무차별곡선이 $A$ 의 실선보다 바깥에 있다.

완전보완재 효용 $u(x_1, x_2) = \min\{x_1, x_2\}$ 를 생각하자.

$A = (4, 4)$ 와 $B = (6, 4)$ 중 어느 쪽이 선호되는가?

$B$ 가 $x_1$ 을 더 많이 가졌는데도 답이 달라지지 않는 이유를 설명하라.

u(A) = \min\{4, 4\} = 4, \qquad u(B) = \min\{6, 4\} = 4

완전보완재,

A = (4, 4)

B = (6, 4)

—

B

는

A

의 무차별곡선 위에 있다.

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$u(A) = \min\{4, 4\} = 4$ , $u(B) = \min\{6, 4\} = 4$ 이므로 $A \sim B$ — 무차별하다.
완전보완재의 무차별곡선은 $(4, 4)$ 에서 꺾이는 L자이다.
$B = (6, 4)$ 는 그 L자의 수평 가지 위에 정확히 놓인다 — $x_2 = 4$ 가 묶여 있는 한 $x_1$ 을 4에서 6으로 늘려도 효용이 전혀 오르지 않는다.
이것이 "완전보완"의 의미이다: 짝을 이루지 못한 재화의 추가분은 가치가 없다.

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