연습문제 · 2. 선호와 선택

쉬움

1쉬움

소비자가 $(5, 1) \succ (3, 3)$ 이고 $(3, 3) \succ (2, 4)$ 라고 보고했다.

선호관계 $\succsim$ 가 완비적이고 이행적이라고 할 때, $(5, 1)$ 과 $(2, 4)$ 의 관계에 대해 무엇을 말할 수 있는가?

x \succ y \iff x \succsim y \text{ and not } y \succsim x

풀이 보기

엄밀한 선호 $\succ$ 는 $\succsim$ 가 완비적이고 이행적이면 이행적이다. $(5,1) \succ (3,3)$ 이고 $(3,3) \succ (2,4)$ 이므로 $(5, 1) \succ (2, 4)$ 이다.
이행성의 증명 스케치: $x \succsim y$ , $\lnot(y \succsim x)$ , $y \succsim z$ , $\lnot(z \succsim y)$ 라 하자.
이행성에 의해 $x \succsim z$ 이다.
만약 $z \succsim x$ 라면 $y \succsim z \succsim x$ 에서 $y \succsim x$ 가 되어 모순이다.
따라서 $\lnot(z \succsim x)$ , 즉 $x \succ z$ 이다.

2보통

$u(x_1, x_2) = x_1 + x_2$ 인 완전대체재 소비자를 생각하자.

한계대체율 $MRS = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2}$ 를 구하고, $(6, 6)$ 을 지나는 무차별곡선의 식을 쓰라.

$B = (9, 4)$ 는 $A = (6, 6)$ 보다 선호되는가?

u(x_1, x_2) = x_1 + x_2

완전대체재,

A = (6, 6)

,

B = (9, 4)

— 기울기

-1

인 직선 무차별곡선.

풀이 보기

$\partial u / \partial x_1 = 1$ , $\partial u / \partial x_2 = 1$ 이므로 모든 점에서 $MRS = 1/1 = 1$ 이다 — 재화 1 한 단위를 포기하면 재화 2 한 단위로 정확히 보상된다.
$(6, 6)$ 의 효용은 $12$ 이므로 무차별곡선은 $x_1 + x_2 = 12$ , 즉 $x_2 = 12 - x_1$ 인 직선이다. 기울기가 $-1$ 인 직선들의 집합이 무차별곡선 지도 전체이다.
$u(B) = 9 + 4 = 13 > 12 = u(A)$ 이므로 $B \succ A$ 이다. 아래 그림에서 $B$ 를 지나는 점선이 $A$ 의 실선보다 바깥쪽에 있음을 확인하라.

3보통

$(p, w) = ((1, 1), 60)$ 에서 $x = (20, 40)$ 을 선택하고, $(p', w') = ((3, 1), 100)$ 에서 $y = (25, 25)$ 를 선택했다.

현시선호 관계를 계산하고 WARP 위반 여부를 판정하라.

p \cdot x = 60, \quad p' \cdot y = 100

풀이 보기

예산 확인: $p \cdot x = 20 + 40 = 60 \le 60$ , $p' \cdot y = 75 + 25 = 100 \le 100$ — 둘 다 예산 안에 있다.
상황 1에서 $y$ 의 비용은 $p \cdot y = 25 + 25 = 50 \le 60 = p \cdot x$ 이다. $y$ 도 살 수 있었으므로 $x \succsim^* y$ 이다.
상황 2에서 $x$ 의 비용은 $p' \cdot x = 60 + 40 = 100 \le 100 = p' \cdot y$ 이다.
$x$ 도 살 수 있었으므로 $y \succsim^* x$ 이다.
서로 다른 두 묶음에 대해 양방향 현시선호가 성립하므로 WARP가 위반된다.
$x \succsim^* y \text{ and } y \succsim^* x,\ x \ne y \quad\Rightarrow\quad \text{WARP violated}$

4어려움

세 묶음 $A = (4, 4)$ , $B = (5, 2)$ , $C = (2, 5)$ 에 대한 쌍별 선택 결과가 다음과 같다(각 쌍에서 유일한 승자가 있다): $A$ 가 $B$ 를 이기고, $B$ 가 $C$ 를 이기며, $C$ 가 $A$ 를 이긴다.

이 세 선택을 모두 합리화하는 완비적이고 이행적인 선호관계 $\succsim$ 는 존재하지 않음을 증명하라.

A \text{ chosen over } B, \quad B \text{ chosen over } C, \quad C \text{ chosen over } A

풀이 보기

$\succsim$ 가 세 선택을 합리화한다고 가정하자.
$\{A, B\}$ 에서 $A$ 만 선택되었다는 것은 $A \succsim B$ 이면서 $\lnot(B \succsim A)$ 라는 뜻, 즉 $A \succ B$ 이다.
마찬가지로 $B \succ C$ , $C \succ A$ 를 얻는다.
$\succsim$ 가 완비적이고 이행적이므로 $\succ$ 도 이행적이다(연습 1의 증명). $A \succ B$ 와 $B \succ C$ 에서 $A \succ C$ 를 얻는다.
그런데 $C \succ A$ 는 $C \succsim A$ 이면서 $\lnot(A \succsim C)$ 임을 뜻하고, $A \succ C$ 는 $A \succsim C$ 를 요구한다 — 모순이다.
따라서 그런 $\succsim$ 는 존재하지 않는다.
이것이 이행성이 깨질 때 벌어지는 일이다: 순환하는 선택은 어떤 합리적 선호로도 설명되지 않으며, 현시선호 관점에서는 $A \succsim^* B \succsim^* C \succsim^* A$ 라는 WARP 위반이 된다.