선택규칙과 WARP

이 씬에서는 두 가지 예산 상황에서 묶음을 직접 골라 본다.

고른 묶음은 그 사람의 취향을 드러낸다. 살 수 있었는데 안 산 묶음은 고른 것보다 못하다고 본다. 그런데 두 상황이 서로의 선택을 뒤집으면 모순이다. 그 모순을 잡는 규칙이 아래 식의 WARP다.

예를 들면, 💰 돈 1,000원이 있어 🍎 사과를 골랐는데 🍌 바나나도 살 수 있었다. 다음 날 바나나를 골랐는데 사과도 살 수 있었다. 두 선택이 서로를 뒤집어 모순이 된다.

x chosen at (p,w), p⋅y≤w⇒y not chosen at (p′,w′) when p′⋅x≤w′x \text{ chosen at } (p,w),\ p\cdot y \le w \Rightarrow y \text{ not chosen at } (p',w') \text{ when } p'\cdot x \le w'

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

반례형

상황 1 (p,w)=((1,1),60)(p, w) = ((1,1), 60)에서 x=(10,50)x = (10, 50)을, 상황 2 (p′,w′)=((2,1),90)(p', w') = ((2,1), 90)에서 y=(30,30)y = (30, 30)을 선택했다. 두 묶음이 모두 각자의 예산 안에 있는지 확인하고, WARP가 위반되는지 판정하라.

p⋅y=60≤60=p⋅x⇒x≿∗yp \cdot y = 60 \le 60 = p \cdot x \quad\Rightarrow\quad x \succsim^* y
p′⋅x=70≤90=p′⋅y⇒y≿∗xp' \cdot x = 70 \le 90 = p' \cdot y \quad\Rightarrow\quad y \succsim^* x
판정

이 명제는 거짓이다 — 이 선택 쌍은 WARP를 위반하므로 어떤 선호관계로도 합리화할 수 없다.

x=(10,50)x = (10, 50), y=(30,30)y = (30, 30) — 양방향 현시선호, WARP 위반.
증명 보기

반례 구성과 검증

  1. 예산 확인: p⋅x=10+50=60≤60p \cdot x = 10 + 50 = 60 \le 60, p′⋅y=60+30=90≤90p' \cdot y = 60 + 30 = 90 \le 90 — 둘 다 예산선 위에 있어 투영되지 않는다.

  2. 상황 1에서 yy의 비용은 p⋅y=30+30=60≤60=p⋅xp \cdot y = 30 + 30 = 60 \le 60 = p \cdot x이다. yy도 살 수 있었는데 xx를 골랐으므로 xx가 yy보다 현시선호된다: x≿∗yx \succsim^* y.

  3. 상황 2에서 xx의 비용은 p′⋅x=20+50=70≤90=p′⋅yp' \cdot x = 20 + 50 = 70 \le 90 = p' \cdot y이다. xx도 살 수 있었는데 yy를 골랐으므로 y≿∗xy \succsim^* x이다. 양방향 현시선호가 서로 다른 두 묶음에 대해 성립하므로 WARP가 위반된다 — 이 선택 쌍을 합리화하는 선호관계는 존재하지 않는다.

상황 1에서 x=(30,30)x = (30, 30)을, 상황 2에서 y=(10,70)y = (10, 70)을 선택했다. 현시선호가 어느 방향으로만 성립하는지 보이고, WARP가 성립함을 확인하라.

p⋅y=80>60=p⋅xp \cdot y = 80 > 60 = p \cdot x
p′⋅x=90≤90=p′⋅y⇒y≿∗xp' \cdot x = 90 \le 90 = p' \cdot y \quad\Rightarrow\quad y \succsim^* x
x=(30,30)x = (30, 30), y=(10,70)y = (10, 70) — 한 방향 현시선호만, WARP 성립.
증명 보기

  1. 예산 확인: p⋅x=60≤60p \cdot x = 60 \le 60, p′⋅y=20+70=90≤90p' \cdot y = 20 + 70 = 90 \le 90 — 투영 없음.

  2. 상황 1에서 yy의 비용은 p⋅y=10+70=80>60=p⋅xp \cdot y = 10 + 70 = 80 > 60 = p \cdot x이다. yy는 애초에 살 수 없었으므로 xx에 대한 현시선호는 성립하지 않는다.

  3. 상황 2에서 xx의 비용은 p′⋅x=60+30=90≤90=p′⋅yp' \cdot x = 60 + 30 = 90 \le 90 = p' \cdot y이므로 y≿∗xy \succsim^* x이다. 현시선호가 한 방향으로만 성립하므로 WARP가 성립한다 — 이 데이터는 효용극대화와 모순되지 않는다.

2. 선호와 선택