2가격 경매: 진실 말하기가 우월전략

내 가치 $v = 60$ 이고 상대는 진실을 입찰한다.

내가 $b = 80$ 으로 오버비딩하면 기대보수·승률·기대지불을 구하고, 진실 입찰( $b = 60$ )과 비교하라.

U(b; v) = \int_0^b \frac{v - v_o}{100}\, dv_o = \frac{vb - b^2/2}{100}

U(80; 60) = \frac{4800 - 3200}{100} = 16 < 18 = U(60; 60)

v = 60

b = 80

— 오버비딩은 2의 손실.

증명 보기

기대보수는 $U(b; 60) = (60b - b^2/2)/100$ 이다. $b = 80$ 이면 $U = (4800 - 3200)/100 = 16$ , 진실 입찰 $b = 60$ 이면 $U = (3600 - 1800)/100 = 18$ — 오버비딩의 손실은 $18 - 16 = 2$ 이다.
손실의 원천: $v_o \in (60, 80]$ 일 때 이기기는 하지만 $v_o > 60 = v$ 를 지불해 음의 잉여를 얻는다.
승률은 $80/100 = 0.8$ 로 오르지만 기대지불도 $80^2/200 = 32$ 로 함께 올라 순효과는 음수다.
$dU/db = (60-b)/100$ 이므로 $b > 60$ 구간에서는 기울기가 음수 — 입찰을 올릴수록 보수가 줄어든다.
$\frac{dU}{db} = \frac{v - b}{100}, \qquad \left.\frac{dU}{db}\right|_{b=80} = -0.2$

같은 상황에서 $b = 40$ 으로 언더비딩하면 기대보수는 얼마인가?

진실 입찰과 비교하고, 어떤 입찰도 진실을 이길 수 없음을 일반적으로 증명하라.

U(40; 60) = \frac{2400 - 800}{100} = 16 < 18 = U(60; 60)

v = 60

b = 40

— 언더비딩도 2의 손실.

증명 보기

$U(40; 60) = (2400 - 800)/100 = 16$ — 진실 입찰보다 $2$ 낮다.
$v_o \in (40, 60]$ 일 때 질 수밖에 없는데, 그 구간에서는 이겼다면 $60 - v_o > 0$ 의 양의 잉여를 얻을 수 있었다.
언더비딩의 손실은 놓친 승리의 기회비용이다.
일반적으로 $U(v; v) - U(b; v) = \frac{v^2}{200} - \frac{vb - b^2/2}{100} = \frac{(v-b)^2}{200} \ge 0$ — 어떤 $b$ 도 진실 입찰을 이길 수 없다. 이것이 진실 말하기가 약우월전략이라는 것의 계산적 증명이다.
$U(v; v) - U(b; v) = \frac{(v-b)^2}{200} \ge 0$

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