계시원리와 최적경매

이 씬은 물건 하나를 파는 최적의 규칙을 찾는다. 복잡한 게임은 접어두고 직접 묻는 방식만 본다.

계시원리 덕분에 정직한 규칙만 찾으면 된다. 사는 사람의 진짜 가치를 직접 물어본다. 최저가보다 낮게 말하면 못 산다. 최저가 이상이면 그 최저가만 낸다. 최저가를 잘 정하면 기대수익이 최대가 된다. 아래 식의 가상가치가 그 지점을 알려준다.

예를 들면, 당신이 ⚽ 축구공 하나를 판다. 친구는 그 공이 8,000원어치 가치가 있다고 생각한다. 당신은 최저가를 5,000원으로 정한다. 친구가 5,000원 이상이라고 말하면 공을 가져간다. 내는 💰 돈은 딱 5,000원이다. 거짓말을 해도 이득이 없어 솔직해진다.

ψ(v)=v−1−F(v)f(v)=2v−1\psi(v) = v - \frac{1-F(v)}{f(v)} = 2v - 1
R(r)=∫r1ψ(v) dv=r−r2,r∗=12R(r) = \int_r^1 \psi(v)\, dv = r - r^2, \qquad r^* = \frac{1}{2}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

구매자 가치 v∼U[0,1]v \sim U[0,1]이고 리저브가 rr인 직접 메커니즘에서 기대수익이 R(r)=r−r2R(r) = r - r^2임을 보이고,

수익을 극대화하는 r∗r^*를 구하라.

ψ(v)=v−1−F(v)f(v)=v−(1−v)=2v−1\psi(v) = v - \frac{1 - F(v)}{f(v)} = v - (1 - v) = 2v - 1
R(r)=∫r1ψ(v) dv=r−r2R(r) = \int_r^1 \psi(v)\, dv = r - r^2
r∗=0.5r^* = 0.5, R=0.25R = 0.25 — 최적 리저브.
증명 보기

  1. 분포함수가 F(v)=vF(v) = v, 밀도가 f(v)=1f(v) = 1이므로 가상가치는 ψ(v)=v−(1−v)/1=2v−1\psi(v) = v - (1-v)/1 = 2v - 1이다. ψ(v)≥0  ⟺  v≥1/2\psi(v) \ge 0 \iff v \ge 1/2 — 판매가 기대수익에 플러스로 기여하는 구간이다.

  2. 기대수익은 가상잉여의 기댓값이다: R(r)=∫r1(2v−1) dv=[v2−v]r1=(1−1)−(r2−r)=r−r2R(r) = \int_r^1 (2v-1)\,dv = [v^2 - v]_r^1 = (1-1) - (r^2-r) = r - r^2.

  3. 1계 조건 R′(r)=1−2r=0R'(r) = 1 - 2r = 0에서 r∗=0.5r^* = 0.5를 얻고, R′′(r)=−2<0R''(r) = -2 < 0이므로 최대값이다.

    R(0.5)=0.5−0.25=0.25R(0.5) = 0.5 - 0.25 = 0.25.

    직관: r<0.5r < 0.5에서 판매하면 가상가치가 음수인 구매자에게 파는 셈이라 수익이 깎이고, r>0.5r > 0.5에서는 양의 가상잉여를 버린다 — 위 패널의 파란 영역이 곧 기대수익이다.

    r∗=12,R(r∗)=12−14=0.25r^* = \frac{1}{2}, \qquad R(r^*) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 0.25

r=0.5r = 0.5, 진짜 가치 v=0.7v = 0.7인 구매자가 v^=0.3\hat{v} = 0.3이라고 속였을 때의 보수와 진실을 말했을 때의 보수를 비교하라.

반대로 v=0.4v = 0.4인 구매자가 v^=0.8\hat{v} = 0.8이라고 속이면 어떻게 되는가?

U(v,v^)=(v−r)⋅1{v^≥r}U(v, \hat{v}) = (v - r) \cdot \mathbf{1}\{\hat{v} \ge r\}
U(0.7,0.7)=0.2,U(0.7,0.3)=0U(0.7, 0.7) = 0.2, \qquad U(0.7, 0.3) = 0
v=0.7v = 0.7, v^=0.3\hat{v} = 0.3 — 거짓말은 물건을 놓친다.
증명 보기

  1. 진실을 말하면 v^=0.7≥0.5\hat{v} = 0.7 \ge 0.5이므로 낙찰받아 r=0.5r = 0.5를 내고 0.7−0.5=0.20.7 - 0.5 = 0.2를 얻는다.

    v^=0.3<0.5\hat{v} = 0.3 < 0.5로 속이면 탈락해 보수는 0이다.

    진실이 0.20.2만큼 낫다 — 낮게 속이면 양의 잉여를 통째로 버린다.

  2. 반대 방향도 마찬가지다.

    v=0.4v = 0.4인 구매자가 진실을 말하면 0.4<0.50.4 < 0.5이므로 0을 얻는다. v^=0.8\hat{v} = 0.8로 속이면 낙찰받지만 0.50.5를 내야 하므로 보수는 0.4−0.5=−0.10.4 - 0.5 = -0.1 — 가치보다 비싸게 산 셈이다.

    어느 방향으로 속여도 진실보다 나아질 수 없으므로, 이 직접 메커니즘은 유인양립적이다.

21. 메커니즘 디자인