쿠르노 과점

두 회사가 서로의 생산량을 보며 경쟁한다. 각자 상대에 대한 최선의 양을 고른다.

내 최선의 양은 상대가 얼마나 만드느냐에 달려 있다. 그 관계를 그은 것이 반응함수다. 두 반응함수가 만나는 점이 쿠르노-내쉬 균형이다. 회사 수를 늘리면 가격과 양이 경쟁에 가까워진다. 하나뿐이면 독점과 같아진다.

예를 들면, 동네에 🏪 분식집이 두 곳 있다고 하자. 한 집이 떡볶이를 많이 만들면 다른 집은 조금만 만드는 게 유리하다. 서로 눈치 보며 양을 정하다 보면 어느 양에서 딱 멈춘다. 분식집이 열 곳으로 늘면 가격은 원가 가까이 떨어진다.

q_i = \frac{A - c - Q_{-i}}{2B} \quad \text{(reaction)}

Q_N = \frac{N}{N+1}\frac{A-c}{B}, \qquad P_N = \frac{A+Nc}{N+1}

이 씬이 포함된 학습 경로

수요 $P = 10 - Q$ , $c = 2$ 인 복점 시장에서 두 기업의 반응함수를 구하고 쿠르노-내쉬균형을 직접 계산하라.

q_1 = \frac{A - c - q_2}{2}, \qquad q_2 = \frac{A - c - q_1}{2}

N = 2

— 두 반응함수의 교점이 내쉬균형이다.

증명 보기

기업 1의 이윤은 $(10 - q_1 - q_2 - 2)q_1$ 이다.
$q_1$ 에 대해 미분하면 $8 - 2q_1 - q_2 = 0$ , 즉 $q_1 = (8 - q_2)/2$ 이다.
대칭적으로 $q_2 = (8 - q_1)/2$ 이다.
대칭성에서 $q_1 = q_2 = q^*$ 라 두면 $q^* = (8 - q^*)/2$ , 즉 $q^* = 8/3$ 이다. 총생산량 $Q = 16/3$ , 가격 $P = 10 - 16/3 = 14/3 \approx 4.67$ — 독점가격 $6$ 과 경쟁가격 $2$ 사이에 있다.

쿠르노 모형에서 $N = 1$ 일 때 독점 해가 나오고, $N \to \infty$ 일 때 경쟁 해에 수렴함을 보이하라.

$N = 8$ 일 때의 수치를 계산하라.

Q_N = \frac{N}{N+1}\frac{A-c}{B}, \qquad P_N = \frac{A + Nc}{N+1}

N = 8

— 가격이 한계비용에 바짝 다가간다.

증명 보기

$N = 1$ 이면 $Q_1 = \frac{1}{2}\frac{A-c}{B}$ , $P_1 = \frac{A+c}{2}$ — 정확히 독점 해이다. $N \to \infty$ 이면 $Q_N \to \frac{A-c}{B} = Q_c$ , $P_N \to c$ — 경쟁 해이다.
$N = 8$ : $Q = \frac{8}{9}\cdot 8 = 64/9 \approx 7.11$ , $P = \frac{10 + 16}{9} = 26/9 \approx 2.89$ . 기업 8개만으로도 가격은 한계비용 $2$ 에 꽤 가까워진다 — 이것이 쿠르노 모델이 "경쟁은 기업 수의 극한"임을 보여주는 방식이다.