정보의 가치

투자할지 말지, 신호 하나를 보고 정하는 장면입니다.

신호가 정확할수록 판단이 좋아집니다. 신호를 본 뒤에는 확률을 새로 계산합니다. 좋은 신호가 오면 투자합니다. 나쁜 신호가 오면 멈춥니다. 정보의 가치는 정보가 있을 때와 없을 때의 차이입니다. 아래 식이 그 차이를 정확히 보여 줍니다.

예를 들면, 중고 🚗 자동차를 사기 전에 전문가에게 물어봅니다. 전문가는 멀쩡한 차와 고장 난 차를 80%는 맞힙니다. 멀쩡하다는 말을 들으면 삽니다. 고장이라는 말을 들으면 안 삽니다. 이렇게 하면 손해 볼 일이 확 줄어듭니다.

P(good∣h)=πqπq+(1−π)(1−q)P(\text{good} \mid h) = \frac{\pi q}{\pi q + (1-\pi)(1-q)}
VoI=P(h)max⁡(0,EVh)+P(l)max⁡(0,EVl)−max⁡(0,πR−(1−π)L)\text{VoI} = P(h)\max(0, \text{EV}_h) + P(l)\max(0, \text{EV}_l) - \max(0, \pi R - (1-\pi)L)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

π=1/2\pi = 1/2, 신호 정확도 q=0.8q = 0.8, R=100R = 100, L=60L = 60이라 하자.

신호가 없을 때의 최적 기대수익, 각 신호 실현 뒤의 최적 행동과 사후확률, 그리고 정보의 가치(VoI)를 직접 계산하라.

EVno=max⁡(0,πR−(1−π)L),VoI=EVwith−EVno\text{EV}_{\text{no}} = \max(0, \pi R - (1-\pi)L), \qquad \text{VoI} = \text{EV}_{\text{with}} - \text{EV}_{\text{no}}
P(good∣h)=πqπq+(1−π)(1−q),P(good∣l)=π(1−q)π(1−q)+(1−π)qP(\text{good} \mid h) = \frac{\pi q}{\pi q + (1-\pi)(1-q)}, \qquad P(\text{good} \mid l) = \frac{\pi(1-q)}{\pi(1-q) + (1-\pi)q}
π=1/2\pi = 1/2, q=0.8q = 0.8, R=100R = 100, L=60L = 60 — VoI = 14.
증명 보기

  1. 사후확률은 P(good∣h)=0.4/0.5=0.8P(\text{good} \mid h) = 0.4/0.5 = 0.8, P(good∣l)=0.1/0.5=0.2P(\text{good} \mid l) = 0.1/0.5 = 0.2이다. 신호가 없으면 πR−(1−π)L=50−30=20>0\pi R - (1-\pi)L = 50 - 30 = 20 > 0이므로 투자하고 EVno=20\text{EV}_{\text{no}} = 20이다.

  2. hh 뒤에는 0.8⋅100−0.2⋅60=68>00.8 \cdot 100 - 0.2 \cdot 60 = 68 > 0이므로 투자하고, ll 뒤에는 0.2⋅100−0.8⋅60=−28<00.2 \cdot 100 - 0.8 \cdot 60 = -28 < 0이므로 관망한다. P(h)=0.5P(h) = 0.5이므로 EVwith=0.5⋅68+0.5⋅0=34\text{EV}_{\text{with}} = 0.5 \cdot 68 + 0.5 \cdot 0 = 34이다.

  3. 따라서 VoI=34−20=14\text{VoI} = 34 - 20 = 14이다. 신호의 가치는 ll이 나왔을 때 손실을 피하게 해주는 데서 나온다 — 좋은 소식 뒤에는 어차피 투자할 것이었다.

    VoI=0.5⋅68⏟after h+0.5⋅0⏟after l−20=14\text{VoI} = \underbrace{0.5 \cdot 68}_{\text{after } h} + \underbrace{0.5 \cdot 0}_{\text{after } l} - 20 = 14

π=0.2\pi = 0.2, q=0.8q = 0.8, R=100R = 100, L=60L = 60이라 하자.

신호가 없을 때의 최적 행동을 구하고, 신호가 그 결정을 뒤집을 수 있음을 보여 VoI를 계산하라.

πR−(1−π)L=20−48=−28<0\pi R - (1-\pi)L = 20 - 48 = -28 < 0
P(good∣h)=0.160.16+0.16=0.5P(\text{good} \mid h) = \frac{0.16}{0.16 + 0.16} = 0.5
π=0.2\pi = 0.2, q=0.8q = 0.8, R=100R = 100, L=60L = 60 — 신호가 결정을 뒤집는다.
증명 보기

  1. 신호가 없으면 πR−(1−π)L=20−48=−28<0\pi R - (1-\pi)L = 20 - 48 = -28 < 0이므로 관망이 최적이고 EVno=0\text{EV}_{\text{no}} = 0이다.

  2. P(good∣h)=0.16/(0.16+0.16)=0.5P(\text{good} \mid h) = 0.16/(0.16 + 0.16) = 0.5이므로 hh 뒤의 투자 기대수익은 0.5⋅100−0.5⋅60=20>00.5 \cdot 100 - 0.5 \cdot 60 = 20 > 0 — 투자로 뒤집힌다. ll 뒤에는 P(good∣l)=0.04/0.68≈0.0588P(\text{good} \mid l) = 0.04/0.68 \approx 0.0588이고 기대수익은 ≈−50.59\approx -50.59이므로 관망을 유지한다.

  3. P(h)=0.16+0.16=0.32P(h) = 0.16 + 0.16 = 0.32이므로 EVwith=0.32⋅20=6.4\text{EV}_{\text{with}} = 0.32 \cdot 20 = 6.4, VoI=6.4−0=6.4\text{VoI} = 6.4 - 0 = 6.4이다. 사전적으로 투자하지 않던 사람에게 신호는 "가끔은 투자하라"는 지시가 되어 양의 가치를 갖는다.

    VoI=0.32⋅20−0=6.4\text{VoI} = 0.32 \cdot 20 - 0 = 6.4

18. 정보의 경제학