매스킨 단조성

이 씬은 원하는 규칙을 게임의 균형으로 만들 수 있는지 검사한다. 두 사람이 세 가지 대안 중에서 고른다.

검사의 이름은 매스킨 단조성이다. 어떤 대안이 뽑힌 상황을 떠올려보자. 다른 상황에서 그 대안이 누구에게도 떨어지지 않았다. 그래도 규칙이 다른 대안을 뽑으면 탈락이다. 그런 규칙은 어떤 게임으로도 구현할 수 없다. 독재 규칙은 이 검사를 통과한다. 꼴찌 뽑기 규칙은 빨간 위반 딱지를 받는다.

예를 들면, 반 친구들이 놀 거리를 투표로 정한다. 이번 주에는 ⚽ 축구가 뽑혔다. 다음 주에도 축구를 싫어해진 친구는 없다. 그런데 결과가 📚 독서로 바뀌면 규칙이 수상하다. 이런 규칙은 공정한 게임으로 만들 수 없다.

f(θ)=x,  x never fell from θ to θ′  ⟹  f(θ′)=xf(\theta) = x,\; x \text{ never fell from } \theta \text{ to } \theta' \implies f(\theta') = x

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

반례형

θ\theta에서 행위자 1은 c≻a≻bc \succ a \succ b, 행위자 2는 a≻b≻ca \succ b \succ c 순위를 갖고, 섭동 1은 행위자 2의 순위를 a≻c≻ba \succ c \succ b로 바꾼다. fanti(θ)f_{\text{anti}}(\theta)를 행위자 2의 꼴찌 선택으로 정의할 때, 이 섭동이 매스킨 단조성을 위반함을 단계별로 검증하라.

fanti(θ)=bottom2(θ),θ:1:c≻a≻b,  2:a≻b≻cf_{\text{anti}}(\theta) = \text{bottom}_2(\theta), \qquad \theta: 1: c \succ a \succ b,\; 2: a \succ b \succ c
θ′:1:c≻a≻b,  2:a≻c≻b\theta': 1: c \succ a \succ b,\; 2: a \succ c \succ b
판정

이 명제는 거짓이다 — 반다수결 규칙 fantif_{\text{anti}}는 매스킨 단조성을 위반한다.

fantif_{\text{anti}}, 섭동 1 — 위반 사례.
증명 보기

반례 구성과 검증

  1. 먼저 두 프로파일에서의 규칙 값을 계산한다. θ\theta에서 행위자 2의 꼴찌는 cc이므로 x=fanti(θ)=cx = f_{\text{anti}}(\theta) = c이다. θ′\theta'에서 행위자 2의 순위는 a≻c≻ba \succ c \succ b이므로 꼴찌는 bb이다: x′=fanti(θ′)=b≠cx' = f_{\text{anti}}(\theta') = b \neq c.

  2. 이제 x=cx = c가 떨어졌는지 검사한다. 행위자 1의 순위는 변하지 않았으므로 떨어질 수 없다. 행위자 2에 대해 대안 쌍을 본다: (c,a)(c, a) — θ\theta에서 cc가 aa 아래였고 θ′\theta'에서도 아래이므로 추락이 아니다. (c,b)(c, b) — θ\theta에서 cc가 bb 아래였는데 θ′\theta'에서는 위이다: 이것은 상승이지 추락이 아니다. 추락은 "위에서 아래로"여야 하므로, cc는 행위자 2에게도 떨어지지 않았다.

  3. 따라서 단조성의 전제("xx가 어느 행위자에게도 떨어지지 않음")가 성립하는데도 결과가 cc에서 bb로 바뀌었다 — 매스킨 단조성 위반이다. cc가 행위자 2에게 꼴찌에서 중간으로 "올라갔는데도" 규칙이 cc를 버린 것이 핵심이다.

    x=c never fell, but fanti(θ′)=b≠c=fanti(θ)x = c \text{ never fell, but } f_{\text{anti}}(\theta') = b \neq c = f_{\text{anti}}(\theta)

독재 규칙 fdict(θ)f_{\text{dict}}(\theta) = 행위자 1의 최상위 선택이 (엄격 선호 하에서) 매스킨 단조성을 만족함을 일반적으로 증명하라.

fdict(θ)=top1(θ)f_{\text{dict}}(\theta) = \text{top}_1(\theta)
fdictf_{\text{dict}}, 섭동 1 — 단조성 충족.
증명 보기

  1. x=fdict(θ)x = f_{\text{dict}}(\theta)라 하자. 즉 xx는 θ\theta에서 행위자 1의 최상위이다: 모든 y≠xy \neq x에 대해 x≻1yx \succ_1 y이다. 단조성의 전제를 가정한다 — θ′\theta'로 가면서 xx가 어느 행위자에게도 떨어지지 않았다.

  2. "떨어지지 않음"의 정의에 따라, θ\theta에서 x≻1yx \succ_1 y였던 모든 yy에 대해 θ′\theta'에서도 x≻1′yx \succ_1' y이다. xx가 θ\theta에서 행위자 1의 최상위였으므로, 이는 모든 y≠xy \neq x에 대해 x≻1′yx \succ_1' y임을 뜻한다 — 즉 xx는 θ′\theta'에서도 행위자 1의 최상위이다.

  3. 따라서 fdict(θ′)=x=fdict(θ)f_{\text{dict}}(\theta') = x = f_{\text{dict}}(\theta)이다. 전제가 성립하는 모든 (θ,θ′)(\theta, \theta') 쌍에서 결론이 따라오므로, 독재 규칙은 매스킨 단조적이다. 직관: "xx가 추월당하지 않았다면 xx는 여전히 1등이다."

    x top1 at θ,  x never fell for 1  ⟹  x top1 at θ′x \text{ top}_1 \text{ at } \theta,\; x \text{ never fell for } 1 \implies x \text{ top}_1 \text{ at } \theta'

22. 구현이론