상태가격과 희소성

세 가지 상태의 확률과 상태가격을 나란히 봅니다.

상태가격은 그냥 확률이 아닙니다. 한계효용으로 무겁게 가중한 확률입니다. 가장 희소한 상태의 1달러가 가장 비쌉니다. 아래 식이 그 가중 방식을 보여 줍니다.

예를 들면, 평소엔 🍞 빵이 넘치는 마을이 있습니다. 흉년이 든 해에는 빵이 아주 귀합니다. 그 해에 쓸 돈 1만 원은 평소의 1만 원보다 훨씬 값집니다.

qs=πs/Es∑tπt/Etq_s = \frac{\pi_s / E_s}{\sum_t \pi_t / E_t}

예제

π=(1/3,1/3,1/3)\pi = (1/3, 1/3, 1/3), E=(6,10,14)E = (6, 10, 14)일 때 상태가격 qsq_s를 직접 계산하라.

qs=πs/Es∑tπt/Etq_s = \frac{\pi_s / E_s}{\sum_t \pi_t / E_t}
E=(6,10,14)E = (6, 10, 14) — q≈(0.493,0.296,0.211)q \approx (0.493, 0.296, 0.211).
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  1. πs/Es=(1/18, 1/30, 1/42)\pi_s/E_s = (1/18,\ 1/30,\ 1/42)이다. 통분하면 (35,21,15)/630(35, 21, 15)/630이므로 합은 71/63071/630이다.

  2. 정규화하면 q=(35/71, 21/71, 15/71)≈(0.493,0.296,0.211)q = (35/71,\ 21/71,\ 15/71) \approx (0.493, 0.296, 0.211)이다.

위 예에서 qs/πsq_s/\pi_s를 계산하고, 왜 가장 희소한 상태의 상태가격이 확률보다 높은지 설명하라.

q1π1≈1.479,q2π2≈0.887,q3π3≈0.634\frac{q_1}{\pi_1} \approx 1.479, \quad \frac{q_2}{\pi_2} \approx 0.887, \quad \frac{q_3}{\pi_3} \approx 0.634
희소성 프리미엄: q1/π1q_1/\pi_1이 가장 크다.
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  1. q1/π1=(35/71)/(1/3)=105/71≈1.479q_1/\pi_1 = (35/71)/(1/3) = 105/71 \approx 1.479, q2/π2=63/71≈0.887q_2/\pi_2 = 63/71 \approx 0.887, q3/π3=45/71≈0.634q_3/\pi_3 = 45/71 \approx 0.634이다.

  2. 상태 1은 총보유량이 66으로 가장 희소해서 한계효용이 가장 높다 — 그래서 "상태 1에서 1달러"라는 상품이 확률 1/31/3보다 비싸게 거래된다. 상태가격은 확률이 아니라 한계효용 가중 확률이다.

15. 불확실성하의 일반균형