Arrow–Debreu 균형

상태별 소비를 그리는 에지워스 상자입니다. 두 사람이 서로의 위험을 나눠 갖는 장면입니다.

나라 전체의 위험이 없으면 서로 보험을 들어 줍니다. 그래서 두 사람 다 어느 상태든 똑같이 소비합니다. 이것이 완전보험, 상호성 원리입니다. 나라 전체가 흔들리면 다 같이 흔들립니다.

예를 들면, 🍎 사과 농부 민수와 🍌 바나나 농부 지훈이 있습니다. 올해 민수 밭만 흉작이면 지훈이 나눠 줍니다. 반대면 민수가 나눠 줍니다. 둘 다 매년 똑같이 먹을 수 있습니다. 그런데 나라 전체가 흉작이면 나눌 게 없어 둘 다 적게 먹습니다.

c_{is} = \frac{\pi_s^{1/\gamma} q_s^{-1/\gamma} W_i}{\sum_t \pi_t^{1/\gamma} q_t^{1-1/\gamma}}

E_1 = E_2 \implies c_{i1} = c_{i2} \quad \text{(full insurance)}

이 씬이 포함된 학습 경로

로그 효용, $\pi_1 = 1/2$ , 총보유량 $E_1 = E_2 = 10$ (총량 위험 없음), $e^1 = (7, 3)$ 이라 하자. Arrow–Debreu 균형에서 두 소비자 모두 완전보험을 받음(상태에 무관한 소비) 을 직접 계산으로 확인하라.

q_s = \frac{\pi_s (W_1 + W_2)}{E_s}, \qquad c_{is} = \frac{\pi_s W_i}{q_s}

총량 위험 없음 — 두 소비자 모두

(5, 5)

소비.

증명 보기

$q_1 = 0.5 \cdot 20/10 = 1$ , $q_2 = 1$ 이다. 부는 $W_1 = 7 + 3 = 10$ , $W_2 = 10$ 이다.
수요는 $c_{i1} = 0.5 \cdot 10/1 = 5$ , $c_{i2} = 5$ 이다 — 두 소비자 모두 상태에서 독립적인 $(5, 5)$ 를 소비한다. 이것이 상호성 원리(mutuality): 총량 위험이 없으면 위험회피적 소비자들은 idiosyncratic 위험을 완전히 나눈다.

같은 설정에서 총량 위험을 도입하자: $E_1 = 12$ , $E_2 = 8$ .

균형 소비를 구하고, 총량 위험은 보험될 수 없음을 보여라.

\frac{c_{11}}{c_{12}} = \frac{E_1}{E_2} = 1.5

E = (12, 8)

— 소비

(5.75, 3.83)

, 총량을 따라간다.

증명 보기

$q_1 : q_2 = \frac{0.5}{12} : \frac{0.5}{8} = 2:3$ 이다. $r = q_1/q_2 = 2/3$ 으로 두면 $W_1 = \frac{2}{3} \cdot 7 + 3 = \frac{23}{3}$ 이다.
$c_{11} = 0.5 \cdot \frac{23}{3} / \frac{2}{3} = 5.75$ , $c_{12} = 0.5 \cdot \frac{23}{3} = 3.833$ 이다. $c_{11}/c_{12} = 1.5 = E_1/E_2$ : 모든 소비자의 소비가 총량과 같은 비율로 움직인다 — 총량 위험은 나눌 수 있어도 없앨 수는 없다.