중첩세대와 황금률

젊을 때 벌고 늙어서 쓰는 삶을 세대 단위로 본다. 젊은 세대와 늙은 세대는 직접 만날 수가 없다.

젊은 세대는 가진 것이 많고 늙은 세대는 가진 것이 적다. 살아 있는 시기가 겹치지 않아 직접 맞바꿀 수 없다. 💰 돈이 그 사이의 다리가 된다. 젊은이는 물건을 돈으로 바꾸고, 늙으면 그 돈으로 물건을 산다.

예를 들면, 할아버지는 젊을 때 🍚 쌀을 팔아 돈을 모았다. 이제 늙어서는 그 돈으로 젊은 농부의 쌀을 산다. 젊은 농부도 늙으면 다음 세대의 쌀을 사게 된다. 이렇게 돈이 세대를 이어준다.

s=δe1+δ,(cy,co)=(e1+δ,δe1+δ)s = \frac{\delta e}{1+\delta}, \quad (c_y, c_o) = \left(\frac{e}{1+\delta}, \frac{\delta e}{1+\delta}\right)

예제

청년 보유량 e=10e = 10, δ=0.6\delta = 0.6인 OLG 경제에서 화폐적 정상상태와 황금률을 각각 구하라.

s=δe1+δ=3.75,(cy,co)CE=(6.25, 3.75)s = \frac{\delta e}{1+\delta} = 3.75, \quad (c_y, c_o)^{CE} = (6.25,\ 3.75)
(cy,co)GR=(5, 5)(c_y, c_o)^{GR} = (5,\ 5)
e=10e = 10, δ=0.6\delta = 0.6 — CE (6.25,3.75)(6.25, 3.75) vs 황금률 (5,5)(5, 5).
증명 보기

  1. 청년의 문제 max⁡log⁡(e−s)+δlog⁡s\max \log(e-s) + \delta \log s에서 1계 조건 −1/(e−s)+δ/s=0-1/(e-s) + \delta/s = 0을 풀면 s=δe/(1+δ)=3.75s = \delta e/(1+\delta) = 3.75이다. 정상상태에서 (cy,co)=(10−3.75, 3.75)=(6.25,3.75)(c_y, c_o) = (10 - 3.75,\ 3.75) = (6.25, 3.75)이다.

  2. 황금률은 cy+co=10c_y + c_o = 10 하에서 log⁡cy+log⁡co\log c_y + \log c_o를 최대화하므로 (5,5)(5, 5)이다. δ=0.6<1\delta = 0.6 < 1이므로 둘은 다르다.

위 예에서 황금률 기준(동일 가중) 정상상태 후생을 비교하고, 이 격차가 시사하는 바를 설명하라.

WGR=log⁡cy+log⁡coW^{GR} = \log c_y + \log c_o
WGR(5,5)=2log⁡5≈3.219>log⁡6.25+log⁡3.75≈3.154=WGR(CE)W^{GR}(5,5) = 2\log 5 \approx 3.219 > \log 6.25 + \log 3.75 \approx 3.154 = W^{GR}(CE)
후생 격차 ≈0.064\approx 0.064 — 무한 지평의 경고.
증명 보기

  1. 황금률 기준 후생은 황금률에서 2log⁡5≈3.2192 \log 5 \approx 3.219, 화폐균형에서 log⁡6.25+log⁡3.75≈3.154\log 6.25 + \log 3.75 \approx 3.154이다. 격차는 약 0.0640.064이다.

  2. 유한 경제에서는 경쟁균형이 파레토 효율적이지만(제1정리), 무한 지평의 OLG에서는 정상상태가 황금률에 못 미칠 수 있다 — 무한한 소비자·상품이 제1정리의 증명을 깨뜨리기 때문이다.

16. 균형과 시간