타토너망 동학

경매인이 가격을 조금씩 고쳐 부르며 균형을 찾는 과정을 본다. 사고 싶은 양과 팔고 싶은 양을 비교해 가격을 움직인다.

사고 싶어 하는 🧑 사람이 많으면 가격을 올린다. 팔려는 사람이 많으면 가격을 내린다. 고치는 폭이 적당하면 가격은 균형에 닿는다. 너무 성급하게 크게 고치면 오히려 균형에서 멀어진다. 아래 식이 바로 그 조정 규칙이다.

예를 들면, 🏪 가게 주인이 🍎 사과 가격표를 매일 고쳐 쓴다고 해보자. 사과가 동나면 가격을 올리고, 썩어 남으면 내린다. 한 번에 확 올리면 손님이 다 떠나버린다. 조금씩 고치면 알맞은 가격에 닿는다.

z(p) = D(p) - S(p), \qquad \dot p = z(p)

k < \frac{-2}{z'(p^*)} \quad \text{(stability)}

이 씬이 포함된 학습 경로

수요 $D(p) = 20/p$ , 공급 $S(p) = 2 + p$ 인 시장에서 균형가격 $p^*$ 를 구하고, $p_0 = 8$ , $k = 0.3$ 일 때 타토너망 한 스텝을 직접 계산하라.

z(p) = \frac{20}{p} - 2 - p, \qquad p_{t+1} = p_t + k\, z(p_t)

p^* = \frac{-2 + \sqrt{4 + 80}}{2} \approx 3.583

A = 20

d = 1

k = 0.3

p_0 = 8

— 수렴.

증명 보기

균형은 $20/p = 2 + p$ 에서 $p^2 + 2p - 20 = 0$ 이므로 $p^* = -1 + \sqrt{21} \approx 3.583$ 이다.
$z(8) = 20/8 - 2 - 8 = -7.5 < 0$ 이므로 초과공급이다. 타토너망은 $p_1 = 8 + 0.3 \times (-7.5) = 5.75$ 로 가격을 내린다 — 균형 $3.583$ 쪽으로 움직였다.

같은 시장에서 타토너망이 수렴하는 속도 $k$ 의 상한을 구하고, $k = 1.0$ 이면 발산함을 보여라.

z'(p^*) = -\frac{20}{(p^*)^2} - 1 \approx -2.558

k < \frac{-2}{z'(p^*)} \approx 0.782

k = 1.0 > 0.782

— 발산.

증명 보기

선형화하면 $p_{t+1} - p^* \approx (1 + k z'(p^*))(p_t - p^*)$ 이다.
수렴 조건 $|1 + k z'(p^*)| < 1$ 에서 $0 < k < -2/z'(p^*)$ 를 얻는다.
$z'(p^*) \approx -2.558$ 이므로 $k < 0.782$ 이다.
$k = 1.0$ 이면 $|1 + 1.0 \times (-2.558)| = 1.558 > 1$ 이므로 오차가 매 스텝 $1.558$ 배로 커진다 — 가격이 균형을 향해 진동하며 발산한다. 경매인이 너무 성급하면 시장이 불안정해진다.