초과수요와 균형의 존재·유일성

가격마다 얼마나 더 사고 싶어 하는지 재어 곡선으로 그린다. 곡선이 0을 지나는 곳이 바로 균형이다.

초과분이 양수면 사고 싶어 하는 양이 더 많다. 음수면 팔고 싶어 하는 양이 더 많다. 착한 경제에서는 곡선이 0을 딱 한 번 지난다. 하지만 그건 보장된 일이 아니다. 모드를 바꾸면 세 번 지나는 경우도 볼 수 있다.

예를 들면, 🍞 빵 가격을 100원부터 1,000원까지 불러본다. 너무 싸면 🧑 사람이 줄을 서서 사 간다. 너무 비싸면 빵이 그대로 남아돈다. 딱 맞는 가격에서만 줄도, 남은 빵도 없다. 그 가격이 균형이다.

p⋅z(p)=0(Walras’ law)p \cdot z(p) = 0 \quad \text{(Walras' law)}
z(λp)=z(p)(homogeneity)z(\lambda p) = z(p) \quad \text{(homogeneity)}

예제

콥-더글러스 경제(a1=0.4a_1 = 0.4, a2=0.6a_2 = 0.6, e1=(7,3)e^1 = (7, 3), W=(10,10)W = (10, 10))에서 p1=2p_1 = 2일 때 초과수요를 계산하고 Walras 법칙 p⋅z=0p \cdot z = 0을 직접 확인하라.

z1=0.4w1+0.6w2p1−10,z2=0.6w1+0.4w2−10z_1 = \frac{0.4 w_1 + 0.6 w_2}{p_1} - 10, \quad z_2 = 0.6 w_1 + 0.4 w_2 - 10
콥-더글러스 모드 — 유일한 균형 p1=1p_1 = 1.
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  1. w1=2⋅7+3=17w_1 = 2 \cdot 7 + 3 = 17, w2=2⋅3+7=13w_2 = 2 \cdot 3 + 7 = 13이다. z1=(0.4⋅17+0.6⋅13)/2−10=14.6/2−10=−2.7z_1 = (0.4 \cdot 17 + 0.6 \cdot 13)/2 - 10 = 14.6/2 - 10 = -2.7이다.

  2. z2=0.6⋅17+0.4⋅13−10=15.4−10=5.4z_2 = 0.6 \cdot 17 + 0.4 \cdot 13 - 10 = 15.4 - 10 = 5.4이다. p1z1+z2=2×(−2.7)+5.4=0p_1 z_1 + z_2 = 2 \times (-2.7) + 5.4 = 0 — Walras 법칙이 성립한다.

    예산제약 때문에 모든 가격에서 항상 성립한다.

아래 식의 예시 모드 초과수요의 균형을 모두 찾고, 각 균형의 (타토너망) 안정성을 판정하라.

z1(p1)=−0.02(p1−1)(p1−4)(p1−9)/p12z_1(p_1) = -0.02(p_1-1)(p_1-4)(p_1-9)/p_1^2
z1(p1)=0  ⟺  p1∈{1,4,9}z_1(p_1) = 0 \iff p_1 \in \{1, 4, 9\}
예시 모드 — 균형 3개, 가운데는 불안정.
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  1. 분자가 0이 되는 점이 균형이다: p1=1,4,9p_1 = 1, 4, 9. 세 점 모두 양의 가격이다.

  2. 안정성은 z1′(p∗)z_1'(p^*)의 부호로 판정한다. p1=1p_1 = 1과 p1=9p_1 = 9에서는 곡선이 위에서 아래로 가로지르므로 z1′<0z_1' < 0 (안정), p1=4p_1 = 4에서는 아래에서 위로 가로지르므로 z1′>0z_1' > 0 (불안정)이다.

    균형의 유일성은 보장되지 않는다 — 이것이 존재 정리와 유일성 정리가 따로 있는 이유이다.

13. 균형의 실증이론