코어의 수축 (Debreu–Scarf)

똑같은 경제를 복사해 규모를 키워본다. 모두가 받아들이는 나눗셈이 점점 하나로 좁혀진다.

규모가 작으면 몇몇이 뭉쳐 딴살림을 차릴 수 있다. 🧑 사람이 늘면 그 여지가 하나씩 잘려나간다. 마지막에는 딱 하나의 나눗셈만 남는다. 시장에서 정해지는 바로 그 나눗셈이다. 아래 식처럼 코어는 한 점으로 수축한다.

예를 들면, 🍎 사과 10개를 친구 2명이 나눌 때는 웬만한 나눗셈이 다 통한다. 친구가 100명으로 늘면 사정이 달라진다. 불만인 친구들끼리 새 판을 짤 수 있기 때문이다. 결국 아무도 새 판을 못 짜는 나눗셈 하나만 남는다.

\text{core}(N) \downarrow \{x^*\} \quad (N \to \infty)

이 씬이 포함된 학습 경로

대칭 경제에서 $N = 1$ 일 때와 $N = 2$ 일 때의 코어 구간을 비교하고, 코어의 폭이 줄어듦을 확인하라.

N=1: [4.583,\ 5.417], \quad \text{width} = 0.833

N=2: [4.792,\ 5.208], \quad \text{width} = 0.417

N = 1 \to 2

: 코어 폭

0.833 \to 0.417

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$N = 1$ 에서 코어는 계약곡선(대각선) 위에서 개인합리성을 만족하는 구간 $[4.583, 5.417]$ 이다.
$N = 2$ 가 되면 $(2, 1)$ 이나 $(1, 2)$ 같은 새 제휴가 생긴다.
예를 들어 $x^1_1 = 5.42$ 는 $N = 1$ 에서는 코어 안에 있었지만, $N = 2$ 에서는 제휴 $(1, 2)$ 가 더 좋은 배분을 제시해 차단한다.
남은 코어는 $[4.792, 5.208]$ 로 폭이 절반이 되었다.

경쟁균형 배분이 모든 $N$ 에 대해 코어 안에 있음을 보이고, 이것이 Debreu–Scarf 극한정리의 한 방향임을 설명하라.

x^* = (5, 5) \in \text{core}(N) \quad \forall N

(5, 5)

는 모든

N

에서 코어 안.

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경쟁균형 가격은 $p_1 = 1$ 이고 배분은 $x^{*1} = x^{*2} = (5, 5)$ 이다. 어떤 제휴 $S$ 가 $y^S$ 로 차단하려면 모든 구성원이 strictly 개선되어야 하는데, $x^{*i}$ 가 예산 최적 선택이므로 $p \cdot y^i > p \cdot e^i$ 가 되어 합하면 모순이다 (13장 연습문제와 같은 논증).
따라서 $x^*$ 는 어떤 $N$ 에서도 차단되지 않는다. 코어가 $N \to \infty$ 에서 $\{x^*\}$ 로 수축하므로, 극한에서 코어와 경쟁균형 집합이 일치한다 — 이것이 Debreu–Scarf 정리이다.