차단 제휴

나눗셈을 이리저리 옮기며 누가 반대하는지 본다. 반대할 무리가 있으면 그 나눗셈은 무너진다.

🧑 사람 한 명의 몫이 혼자일 때보다 못하면 그 사람은 빠져나간다. 여럿이 뭉쳐 더 잘 나눌 수 있어도 무너진다. 아무 무리도 빠져나갈 이유가 없는 나눗셈만 살아남는다. 그 집합이 코어다.

예를 들면, 🍬 사탕 10개를 세 친구가 나눈다고 해보자. 한 친구가 겨우 1개만 받으면 그 친구는 자리를 뜬다. 두 친구가 몰래 더 좋은 나눗셈을 찾으면 원래 나눗셈은 무너진다. 아무도 뜨고 싶지 않은 나눗셈만 끝까지 남는다.

x \in \text{core} \iff \text{no } S \text{ blocks } x

예제

배분 $x^1 = (7, 3)$ (즉 보유량 그대로)을 선택했을 때 어떤 제휴가 차단하는지 판정하라.

MRS_1(7,3) = 3/7 \ne 7/3 = MRS_2(3,7)

보유량 그대로 — 전체 제휴가 차단 (거래 이득).

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$u_1 = u_2 = \sqrt{21} \approx 4.58$ 로 개인합리성은 만족한다 — $\{1\}$ , $\{2\}$ 는 차단하지 못한다.
그러나 $MRS_1 = 3/7 \ne 7/3 = MRS_2$ 이므로 파레토 비효율적이다. 예를 들어 $x^1 = (5, 5)$ 로 옮기면 $u_1 = u_2 = 5 > 4.58$ 이 되어 전체 제휴 $\{1, 2\}$ 가 차단한다 — 그림의 렌즈 영역이 바로 그 파레토 개선 집합이다.

배분 $x^1 = (5, 5)$ 는 어떤 제휴도 차단하지 못함을 확인하라.

(5, 5)

— 코어 안에 있다.

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$u_1 = u_2 = 5 > 4.58 = u_i(e^i)$ 이므로 개인합리성이 성립한다 — $\{1\}$ , $\{2\}$ 는 차단하지 못한다.
$MRS_1(5,5) = MRS_2(5,5) = 1$ 이므로 계약곡선 위에 있고 파레토 효율적이다 — $\{1, 2\}$ 도 차단하지 못한다. 따라서 $(5, 5)$ 는 코어 안에 있다 (실제로는 경쟁균형이다).