반복 게임과 협력

죄수의 딜레마를 끝없이 반복하는 게임을 본다. 배신하면 영원히 응징하는 전략을 쓴다.

오늘 배신하면 지금은 크게 얻는다. 하지만 내일부터 상대도 배신해서 손해가 계속 이어진다. 내일을 얼마나 중요하게 여기느냐가 선택을 가른다. 미래를 충분히 아끼면 협력이 이득이라 무너지지 않는다. 그 경계값은 아래 식으로 계산된다.

예를 들면, 🧑 친구와 매일 ⚽ 공을 번갈아 빌려준다고 하자. 오늘 내가 공을 독차지하면 오늘은 신난다. 하지만 내일부터 친구는 내게 공을 빌려주지 않는다. 내일도 같이 놀고 싶다면 오늘의 약속을 지키는 편이 낫다.

R1−δ≥T+δP1−δ  ⟺  δ≥δ∗=T−RT−P\frac{R}{1-\delta} \ge T + \frac{\delta P}{1-\delta} \iff \delta \ge \delta^* = \frac{T-R}{T-P}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

T=5T = 5, R=3R = 3, P=1P = 1인 무한반복 죄수의 딜레마에서 grim-trigger 전략이 협력을 유지하는 조건 δ∗\delta^*를 구하고, δ=0.6\delta = 0.6에서 협력이 유지됨을 확인하라.

R1−δ≥T+δP1−δ  ⟺  δ≥T−RT−P\frac{R}{1-\delta} \ge T + \frac{\delta P}{1-\delta} \iff \delta \ge \frac{T-R}{T-P}
δ=0.6≥δ∗=0.5\delta = 0.6 \ge \delta^* = 0.5 — 협력 유지.
증명 보기

  1. 계속 협력의 현재가치: VC=31−δV_C = \frac{3}{1-\delta}.

    일회 배신의 가치: 이번 기 55 + 이후 영원히 11씩 → VD=5+δ1−δV_D = 5 + \frac{\delta}{1-\delta}.

    부등식 VC≥VDV_C \ge V_D를 풀면 δ≥5−35−1=12\delta \ge \frac{5-3}{5-1} = \frac12.

  2. δ=0.6\delta = 0.6에서 VC=30.4=7.5V_C = \frac{3}{0.4} = 7.5, VD=5+0.60.4=6.5V_D = 5 + \frac{0.6}{0.4} = 6.5.

    7.5>6.57.5 > 6.5이므로 배신 유인이 없고 협력이 유지된다.

    δ\delta가 작아지면 미래의 처벌이 가벼워져서 배신이 유리해진다 — 그림에서 두 곡선이 δ∗\delta^*에서 교차하는 이유이다.

유혹 보수 TT가 커지면 협력 유지가 어려워짐을 δ∗\delta^* 공식으로 설명하고, T=7T = 7, R=3R = 3, P=1P = 1일 때 δ∗\delta^*를 계산하라.

T=7T = 7이면 δ∗=2/3>0.6\delta^* = 2/3 > 0.6 — 협력 붕괴.
증명 보기

  1. δ∗=T−RT−P\delta^* = \frac{T-R}{T-P}에서 분자를 보면, TT가 커질수록 일회 배신의 이득 (T−R)(T - R)이 커진다. T=7T = 7이면 δ∗=7−37−1=46=23≈0.667\delta^* = \frac{7-3}{7-1} = \frac{4}{6} = \frac23 \approx 0.667이다.

  2. δ=0.6<2/3\delta = 0.6 < 2/3이므로 배신이 유리하다: VC=7.5V_C = 7.5, VD=7+0.60.4=8.5V_D = 7 + \frac{0.6}{0.4} = 8.5. 유혹이 크면 미래를 더 중시해야(δ\delta가 더 커야) 협력할 수 있다 — "인내심이 협력을 산다"는 직관의 정식화이다.

8. 게임이론