표준형 게임과 최적대응

두 경기자의 보수표를 직접 들여다본다. 네 칸마다 두 사람의 보수가 적혀 있다.

각 열에서 첫째 경기자의 가장 좋은 답을 표시한다. 각 행에서는 둘째 경기자의 가장 좋은 답을 표시한다. 두 표시가 겹치는 칸이 별표 칸이다. 그 칸이 순수전략 내쉬 균형이다. 아무도 혼자서는 바꾸고 싶지 않은 자리이기 때문이다.

예를 들면, 나와 🧑 친구가 각자 동전의 앞면과 뒷면 중 하나를 고른다고 하자. 친구가 앞면을 고르면 내게 가장 좋은 답이 정해진다. 반대로 내 선택에 따라 친구의 가장 좋은 답도 정해진다. 두 답이 서로를 가리키는 조합이 바로 균형이다.

s^* \text{ is Nash} \iff u_i(s_i^*, s_{-i}^*) \ge u_i(s_i, s_{-i}^*) \;\; \forall s_i, \forall i

이 씬이 포함된 학습 경로

죄수의 딜레마에서 각 플레이어의 최적대응을 전부 찾고, 순수전략 내쉬 균형이 유일함을 보여라.

\begin{matrix} & C & D \\ C & (3,3) & (0,5) \\ D & (5,0) & (1,1) \end{matrix}

죄수의 딜레마 — 선택된 셀

(D, D)

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P1 입장에서: P2가 $C$ 이면 $D$ 가 $5 > 3$ 으로 낫고, P2가 $D$ 이면 $D$ 가 $1 > 0$ 으로 낫다.
즉 $D$ 는 P1의 강우월전략이다.
대칭적으로 $D$ 는 P2의 강우월전략이다.
각 열에서 P1의 최적대응은 항상 $D$ (아래 행), 각 행에서 P2의 최적대응은 항상 $D$ (오른쪽 열)이다.
둘 다 최적대응인 셀은 $(D, D)$ 하나뿐이므로 유일한 순수전략 내쉬 균형이다.
$(C, C)$ 의 $(3, 3)$ 보다 파레토 열등하지만, 일방적 이탈 유인이 사라지지 않는다.

Stag Hunt 게임의 순수전략 내쉬 균형을 모두 찾고, 두 균형의 파레토 순위를 비교하라.

\begin{matrix} & S & H \\ S & (4,4) & (0,3) \\ H & (3,0) & (3,3) \end{matrix}

Stag Hunt — 선택된 셀

(S, S)

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P1의 최적대응: $S$ 열에서는 $4 > 3$ 이므로 $S$ , $H$ 열에서는 $3 > 0$ 이므로 $H$ . P2도 대칭적으로 $S$ 행에서는 $S$ , $H$ 행에서는 $H$ 가 최적대응이다.
둘 다 최적대응인 셀은 $(S, S)$ 와 $(H, H)$ — 순수전략 내쉬 균형이 두 개다. $(S, S)$ 는 $(4, 4)$ 로 $(H, H)$ 의 $(3, 3)$ 을 파레토 지배한다.
그러나 $(H, H)$ 도 균형이다: 상대가 토끼를 잡으러 가면 나도 토끼가 낫다.
어떤 균형이 실현될지는 "믿음"의 문제 — 이것이 균형 선택(equilibrium selection) 문제의 시초다.