내쉬 균형과 최적대응 대응

두 경기자의 최적대응을 한 평면에 겹쳐 그린다. 파란 곡선과 주황 곡선이 함께 나타난다.

파란 곡선은 상대의 섞는 비율에 대한 내 최선의 답이다. 주황 곡선은 반대 방향의 최선의 답이다. 두 곡선이 만나는 점에서는 서로가 서로의 최적대응이다. 그 교점이 바로 내쉬 균형이다. 순수 균형은 모서리에 찍히고, 혼합 균형은 안쪽에 별표로 찍힌다.

예를 들면, 🧑 친구와 내가 각자 왼쪽과 오른쪽 중 하나를 고른다고 하자. 친구의 선택에 따라 내 최선의 답이 바뀐다. 내 선택에 따라 친구의 최선의 답도 바뀐다. 서로의 답이 딱 맞아떨어지는 조합이 바로 균형이다.

s^* \text{ Nash} \iff s_i^* \in BR_i(s_{-i}^*) \;\; \forall i

BR_1(q) \cap BR_2(p) \neq \varnothing

이 씬이 포함된 학습 경로

Stag Hunt 게임의 최적대응 대응을 그리고, 내쉬 균형이 세 개임을 보여라(순수 2개 + 혼합 1개).

u_1(S,q) = 4q, \quad u_1(H,q) = 3

q^* = 3/4, \quad p^* = 3/4

Stag Hunt — 대응의 교점이 3개.

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P1: $u_1(S, q) = 4q$ , $u_1(H, q) = 3q + 3(1-q) = 3$ . $4q = 3$ 에서 $q^* = 3/4$ .
$q < 3/4$ 이면 $H$ 가, $q > 3/4$ 이면 $S$ 가 최적이다. 대칭성으로 P2의 무차별점은 $p^* = 3/4$ 이다.
대응의 교점: $(q,p) = (0,0)$ 즉 $(H,H)$ , $(1,1)$ 즉 $(S,S)$ , 그리고 $(3/4, 3/4)$ 의 완전혼합 균형. 세 점 모두에서 각자의 대응이 서로를 "붙잡고" 있다 — 일방적 이탈 유인이 없다.

Matching Pennies에는 순수전략 내쉬 균형이 없고, 유일한 균형이 $(p^*, q^*) = (1/2, 1/2)$ 임을 보여라.

BR_1(q) = \begin{cases} 1 & q > 1/2 \\ [0,1] & q = 1/2 \\ 0 & q < 1/2 \end{cases}

Matching Pennies — 대응이 만나는 점은 정중앙 하나뿐.

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네 셀을 검사하면: $(H,H)$ 에서 P2는 $T$ 로 바꾸고 싶고( $1 > -1$ ), $(H,T)$ 에서 P1은 $T$ 로( $1 > -1$ ), $(T,H)$ 에서 P1은 $H$ 로, $(T,T)$ 에서 P2는 $H$ 로 바꾸고 싶다. 어느 셀도 쌍방 최적대응이 아니다.
혼합에서는 $u_1(H,q) = 2q-1$ , $u_1(T,q) = 1-2q$ 에서 $q^* = 1/2$ , 대칭적으로 $p^* = 1/2$ . 대응 그림에서 두 계단함수는 $(1/2, 1/2)$ 에서 정확히 한 번 만난다 — 유일한 내쉬 균형이다.