혼합전략과 무차별 조건

둘째 경기자가 두 전략을 확률로 섞는 모습을 본다. 섞는 비율을 슬라이더로 움직여본다.

상대가 섞는 비율에 따라 내 각 전략의 기대보수는 직선으로 변한다. 두 직선이 만나는 비율에서는 어느 전략도 더 낫지 않다. 그 무차별한 비율만이 혼합 균형에 쓰일 수 있다. 상대를 무차별하게 만드는 것이 섞는 비율을 정하는 원리다.

예를 들면, ⚽ 공을 차는 🧑 친구와 골키퍼 친구가 있다고 하자. 차는 친구가 항상 왼쪽만 차면 키퍼는 왼쪽만 막는다. 그래서 차는 친구는 왼쪽과 오른쪽을 섞어 찬다. 키퍼가 어느 쪽을 막아도 똑같이 어렵게 느껴지는 비율로 섞는다.

u_1(\text{Top}, q) = q\,u_{TL} + (1-q)\,u_{TR}

q^* : u_1(\text{Top}, q^*) = u_1(\text{Bottom}, q^*)

이 씬이 포함된 학습 경로

Matching Pennies에서 P1이 무차별해지는 P2의 혼합 $q^*$ 를 구하고, 그 이유를 설명하라.

u_1(H, q) = q \cdot 1 + (1-q) \cdot (-1) = 2q - 1

u_1(T, q) = q \cdot (-1) + (1-q) \cdot 1 = 1 - 2q

Matching Pennies —

q = 1/2

에서 P1 무차별.

증명 보기

P2가 확률 $q$ 로 $H$ 를 낸다고 하자.
P1이 $H$ 를 내면 기대보수는 $2q - 1$ , $T$ 를 내면 $1 - 2q$ 이다.
무차별 조건 $2q - 1 = 1 - 2q$ 에서 $q^* = 1/2$ 를 얻는다.
핵심 통찰: 혼합균형에서 각 플레이어는 "상대를 무차별하게 만드는" 혼합을 택한다 — 자기 보수를 극대화하는 게 아니라 상대가 섞도록 유인하는 것이다.
$q < 1/2$ 이면 $T$ 가 낫고( $1-2q > 2q-1$ ), $q > 1/2$ 이면 $H$ 가 낫다.
오직 $q^*$ 에서만 P1은 어떤 혼합도 (약)최적이다.

Battle of the Sexes에서 P1을 무차별하게 만드는 $q^*$ 와 P2를 무차별하게 만드는 $p^*$ 를 각각 구하라.

u_1(O, q) = 3q, \qquad u_1(F, q) = 2(1-q)

u_2(p, O) = 2p, \qquad u_2(p, F) = 3(1-p)

Battle of the Sexes —

q^* = 0.4

에서 P1 무차별.

증명 보기

P1: $u_1(O,q) = 3q$ , $u_1(F,q) = 2(1-q)$ . $3q = 2 - 2q$ 에서 $q^* = 2/5 = 0.4$ .
P2: $u_2(p,O) = 2p$ , $u_2(p,F) = 3(1-p)$ . $2p = 3 - 3p$ 에서 $p^* = 3/5 = 0.6$ .
따라서 완전혼합 내쉬 균형은 $(p^*, q^*) = (0.6, 0.4)$ 이다.
이때 P1의 기대보수는 $3 \times 0.4 = 1.2$ , P2의 기대보수는 $2 \times 0.6 = 1.2$ 이다.
두 순수전략 균형 $(O,O)$ 의 $(3,2)$ 나 $(F,F)$ 의 $(2,3)$ 보다 둘 다 못하다 — 혼합균형이 파레토 열등할 수 있음을 보여준다.