8. 게임이론

전략적 선택의 문법 — 표준형 게임과 최적대응에서 내쉬균형, 혼합전략, 동적 게임의 역진귀납과 반복게임까지.

• 표준형 게임과 최적대응 — 두 경기자의 보수표를 직접 들여다본다. 네 칸마다 두 사람의 보수가 적혀 있다. 각 열에서 첫째 경기자의 가장 좋은 답을 표시한다. 각 행에서는 둘째 경기자의 가장 좋은 답을 표시한다. 두 표시가 겹치는 칸이 별표 칸이다. 그 칸이 순수전략 내쉬 균형이다. 아무도 혼자서는 바꾸고 싶지 않은 자리이기 때문이다. 예를 들면, 나와 🧑 친구가 각자 동전의 앞면과 뒷면 중 하나를 고른다고 하자. 친구가 앞면을 고르면 내게 가장 좋은 답이 정해진다. 반대로 내 선택에 따라 친구의 가장 좋은 답도 정해진다. 두 답이 서로를 가리키는 조합이 바로 균형이다.
• 혼합전략과 무차별 조건 — 둘째 경기자가 두 전략을 확률로 섞는 모습을 본다. 섞는 비율을 슬라이더로 움직여본다. 상대가 섞는 비율에 따라 내 각 전략의 기대보수는 직선으로 변한다. 두 직선이 만나는 비율에서는 어느 전략도 더 낫지 않다. 그 무차별한 비율만이 혼합 균형에 쓰일 수 있다. 상대를 무차별하게 만드는 것이 섞는 비율을 정하는 원리다. 예를 들면, ⚽ 공을 차는 🧑 친구와 골키퍼 친구가 있다고 하자. 차는 친구가 항상 왼쪽만 차면 키퍼는 왼쪽만 막는다. 그래서 차는 친구는 왼쪽과 오른쪽을 섞어 찬다. 키퍼가 어느 쪽을 막아도 똑같이 어렵게 느껴지는 비율로 섞는다.
• 영합게임과 미니맥스 — 한 사람의 이득이 정확히 다른 사람의 손실인 게임을 본다. 보수표의 숫자를 직접 바꿔본다. 나는 최악의 경우를 최대한 좋게 만들려 한다. 상대는 내 이득을 최대한 작게 만들려 한다. 두 계산이 일치하면 안장점이 생기고 순수전략 균형이 된다. 어긋나면 둘 다 전략을 섞어야 하고, 그때 게임의 값이 아래 식처럼 정해진다. 예를 들면, 🍬 사탕 한 개를 걸고 동전의 앞면과 뒷면을 맞힌다고 하자. 내가 맞히면 사탕은 내 것이 된다. 틀리면 🧑 친구가 가져간다. 내가 얻는 만큼 친구가 잃는 게임이다. 그래서 둘 다 속을 읽히지 않게 섞는다.
• 내쉬 균형과 최적대응 대응 — 두 경기자의 최적대응을 한 평면에 겹쳐 그린다. 파란 곡선과 주황 곡선이 함께 나타난다. 파란 곡선은 상대의 섞는 비율에 대한 내 최선의 답이다. 주황 곡선은 반대 방향의 최선의 답이다. 두 곡선이 만나는 점에서는 서로가 서로의 최적대응이다. 그 교점이 바로 내쉬 균형이다. 순수 균형은 모서리에 찍히고, 혼합 균형은 안쪽에 별표로 찍힌다. 예를 들면, 🧑 친구와 내가 각자 왼쪽과 오른쪽 중 하나를 고른다고 하자. 친구의 선택에 따라 내 최선의 답이 바뀐다. 내 선택에 따라 친구의 최선의 답도 바뀐다. 서로의 답이 딱 맞아떨어지는 조합이 바로 균형이다.
• 강열등전략의 반복 소거 — 절대 쓰지 않을 전략을 하나씩 지워나가는 과정을 본다. 라운드 슬라이더를 밀며 순서대로 소거한다. 어떤 전략이 다른 전략보다 항상 나쁘면 합리적 경기자는 쓰지 않는다. 그 전략을 지우면 표가 작아진다. 작아진 표에서는 또 다른 나쁜 전략이 드러난다. 이 씬에서는 C와 M과 D가 차례로 사라지고 U만 남는다. 예를 들면, 🏪 가게에 🍬 사탕이 세 종류 있다고 하자. 한 종류는 다른 종류보다 항상 작고 맛도 없다. 그런 사탕은 아무도 고르지 않으니 진열대에서 빼도 된다. 빼고 나면 또 항상 손해인 사탕이 눈에 띈다. 이렇게 지워나가면 마지막 선택이 남는다.
• 전개형 게임과 후진귀납법 — 새 회사가 시장에 들어올지 다투는 게임을 나무 모양으로 그린다. 누가 먼저 움직이는지 순서가 한눈에 보인다. 푸는 방법은 맨 뒤에서부터 거꾸로 읽는 것이다. 마지막에 움직이는 사람의 최선의 답을 먼저 정한다. 그 답을 알면 앞사람의 선택도 정해진다. 싸우겠다는 위협은 막상 닥치면 본인도 손해라서 믿을 수 없다. 그래서 그 가지는 잘려나간다. 예를 들면, 동네에 🏪 분식집이 하나 있는데 새 분식집이 들어오려 한다고 하자. 기존 아저씨가 가격 전쟁을 하겠다고 겁을 준다. 하지만 새 가게가 들어온 뒤에 싸우면 아저씨도 손해를 본다. 새 가게는 그걸 알기에 겁먹지 않고 들어온다.
• 반복 게임과 협력 — 죄수의 딜레마를 끝없이 반복하는 게임을 본다. 배신하면 영원히 응징하는 전략을 쓴다. 오늘 배신하면 지금은 크게 얻는다. 하지만 내일부터 상대도 배신해서 손해가 계속 이어진다. 내일을 얼마나 중요하게 여기느냐가 선택을 가른다. 미래를 충분히 아끼면 협력이 이득이라 무너지지 않는다. 그 경계값은 아래 식으로 계산된다. 예를 들면, 🧑 친구와 매일 ⚽ 공을 번갈아 빌려준다고 하자. 오늘 내가 공을 독차지하면 오늘은 신난다. 하지만 내일부터 친구는 내게 공을 빌려주지 않는다. 내일도 같이 놀고 싶다면 오늘의 약속을 지키는 편이 낫다.