공공재와 무임승차

모두가 같이 쓰는 것을 누가 돈 내서 만들까요. 공공재 수요는 가로가 아니라 세로로 합치는 장면입니다.

한 단위를 모두가 동시에 씁니다. 그래서 각자 낼 돈을 세로로 더합니다. 그 합이 비용과 만나는 점이 최적입니다. 그런데 각자 계산하면 이야기가 달라집니다. 남이 내겠지 싶어 자기는 안 냅니다. 결국 모인 돈이 모자라 공급이 부족합니다.

예를 들면, 반 🧑 친구 30명이 돈을 모아 교실에 ⚽ 공을 사려 합니다. 공 1개 값은 3만 원입니다. 절반이 '남들이 내겠지' 하고 안 내면 돈이 모자랍니다. 결국 공을 못 사서 아무도 놀지 못합니다.

∑iDi(G∗)=c(Samuelson)\sum_i D_i(G^*) = c \quad \text{(Samuelson)}
gi=max⁡(0,ai−cbi−gj)(Nash)g_i = \max\left(0, \frac{a_i - c}{b_i} - g_j\right) \quad \text{(Nash)}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

D1:P=10−GD_1: P = 10 - G, D2:P=8−GD_2: P = 8 - G, 한계비용 c=4c = 4인 공공재에서 사무엘슨 조건으로 사회적 최적 공급량 G∗G^*를 구하라.

∑iMRSi=MRT⟺D1(G∗)+D2(G∗)=c\sum_i MRS_i = MRT \quad\Longleftrightarrow\quad D_1(G^*) + D_2(G^*) = c
수직합이 MC=4MC = 4와 만나는 점 G∗=7G^* = 7.
증명 보기

  1. 공공재는 비경합적이므로 수요를 수직으로 합한다: ΣD(G)=(10−G)+(8−G)=18−2G\Sigma D(G) = (10 - G) + (8 - G) = 18 - 2G (둘 다 양수인 구간에서).

  2. 사무엘슨 조건 ΣD(G∗)=c\Sigma D(G^*) = c에서 18−2G∗=418 - 2G^* = 4, 즉 G∗=7G^* = 7이다. G=7G = 7에서 D1=3>0D_1 = 3 > 0, D2=1>0D_2 = 1 > 0이므로 꺾이는 구간이 아니어서 유효하다.

같은 예에서 자발적 기여의 내쉬균형을 구하고, 누가 무임승차하는지 확인하라.

과소공급의 사중손실도 계산하라.

사적 공급 66 vs 사회적 최적 77 — 소비자 2가 무임승차한다.
증명 보기

  1. 소비자 ii의 반응함수는 gi=max⁡(0,(ai−c)−gj)g_i = \max(0, (a_i - c) - g_j)이다 (기울기가 1이므로). 원하는 총량은 소비자 1이 66, 소비자 2가 44이다.

  2. 수요가 더 큰 소비자 1이 g1=6g_1 = 6을 제공하고, 소비자 2는 g2=max⁡(0,4−6)=0g_2 = \max(0, 4 - 6) = 0으로 무임승차한다. 일탈 유인이 없다: 소비자 2가 조금 보태면 한계편익 8−6=28 - 6 = 2가 비용 44보다 작다.

    총 사적 공급은 6<7=G∗6 < 7 = G^*이다.

  3. 총후생 W(G)=18G−G2−4G=14G−G2W(G) = 18G - G^2 - 4G = 14G - G^2에서 W(7)=49W(7) = 49, W(6)=48W(6) = 48이므로 사중손실은 11이다 — 그림의 빨간 영역이다.

    DWL=W(G∗)−W(GNash)=49−48=1DWL = W(G^*) - W(G_{Nash}) = 49 - 48 = 1

10. 외부성과 공공재