두 후생정리

효용가능 프론티어 위를 걸어본다. 슬라이더로 점 하나를 골라 옮겨본다.

경쟁균형은 항상 프론티어 위에 있다. 이것이 후생경제학 제1정리다. 프론티어 위의 다른 점도 시장에서 닿을 수 있다. 가격을 받쳐주고 소득을 한 번에 옮겨주면 시장이 스스로 그 점에 도달한다. 이것이 제2정리이고, 필요한 이전액은 아래 식으로 계산된다.

예를 들면, 🍬 사탕 10개를 나와 🧑 친구가 나눈다고 하자. 10개를 모두 쓰는 나눔은 어느 것이든 낭비가 없다. 그런데 친구 몫이 너무 적어 마음에 걸린다면 길이 있다. 거래 전에 사탕 몇 개를 친구에게 미리 건네주는 것이다. 그러면 시장에서의 교환만으로 원하는 나눔에 닿는다.

(u1,u2) on the frontier  ⟺  Pareto efficient(u_1, u_2) \text{ on the frontier} \iff \text{Pareto efficient}
T=p⋅(x1−e1)(lump-sum transfer)T = p \cdot (x^1 - e^1) \quad \text{(lump-sum transfer)}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

경쟁균형 배분 x1=x2=(5,5)x^1 = x^2 = (5, 5)가 파레토 효율적임을 한계대체율로 직접 확인하라 (제1후생정리).

MRSi(xi)=ai1−aix2ix1iMRS_i(x^i) = \frac{a_i}{1-a_i}\frac{x^i_2}{x^i_1}
x Pareto efficient  ⟺  MRS1(x1)=MRS2(x2)x \text{ Pareto efficient} \iff MRS_1(x^1) = MRS_2(x^2)
균형 효용 (5,5)(5, 5)는 효용가능 프론티어 위에 있다.
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  1. MRS1(5,5)=0.50.5⋅55=1MRS_1(5, 5) = \frac{0.5}{0.5} \cdot \frac{5}{5} = 1이고, MRS2(5,5)=1MRS_2(5, 5) = 1이다. 두 소비자의 한계대체율이 균형가격 p1/p2=1p_1/p_2 = 1과 일치하므로, 무차별곡선이 접하고 배분은 계약곡선 위에 있다 — 파레토 효율적이다.

  2. 효용공간에서 보면 (u1,u2)=(5,5)(u_1, u_2) = (5, 5)이며, 계약곡선(대각선)을 따라 그은 효용가능 프론티어 u2=10−u1u_2 = 10 - u_1 위에 정확히 놓인다. 이것이 제1후생정리의 내용이다: 경쟁균형은 파레토 효율적이다.

파레토 최적점 x1=(6,6)x^1 = (6, 6), x2=(4,4)x^2 = (4, 4)를 경쟁균형으로 분권화하는 일시불 이전소득을 구하라 (제2후생정리).

p1=MRS1(6,6)=1(supporting price)p_1 = MRS_1(6, 6) = 1 \quad (\text{supporting price})
T=p⋅(x1−e1)=1⋅(6−7)+(6−3)=2T = p \cdot (x^1 - e^1) = 1 \cdot (6-7) + (6-3) = 2
목표 (6,6)(6, 6) — 지지 가격 11, 이전소득 T=2T = 2.
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  1. (6,6)(6, 6)은 대각선(계약곡선) 위의 점이므로 파레토 최적이다. 그 점에서의 공통 한계대체율은 MRS=1MRS = 1이므로 지지 가격은 p1=1p_1 = 1이다.

  2. 소비자 1이 (6,6)(6, 6)을 살 수 있어야 하므로 필요한 부는 1⋅6+6=121 \cdot 6 + 6 = 12이다.

    원래 부가 w1=10w_1 = 10이므로 이전소득 T=12−10=2T = 12 - 10 = 2를 주면 된다.

    이전 후 수요는 x1=(0.5⋅12, 0.5⋅12)=(6,6)x^1 = (0.5 \cdot 12,\ 0.5 \cdot 12) = (6, 6), x2=(4,4)x^2 = (4, 4)로 시장이 청산된다.

12. 균형과 후생