에지워스 상자와 경쟁균형

두 사람이 가진 물건을 상자 안에 그린다. 보유량과 제안곡선, 계약곡선이 한 화면에 나타난다.

계약곡선은 두 사람 모두 더 나아질 수 없는 점들의 모음이다. 균형 가격에서는 예산선이 두 무차별곡선에 동시에 닿는다. 그 접점이 바로 경쟁균형이다. 곡선의 굵은 구간은 어느 쪽도 막을 수 없는 코어다.

예를 들면, 나는 🍎 사과 7개와 🍌 바나나 3개를 가졌다고 하자. 🧑 친구는 바나나 7개와 사과 3개를 가졌다. 나는 바나나를 더 좋아하고 친구는 사과를 더 좋아한다. 서로 바꾸면 둘 다 더 행복해진다. 더 바꿀 게 없을 때까지 교환하면 계약곡선 위의 점에 도착한다.

p_1 = \frac{a_1 e^1_2 + a_2 e^2_2}{(1-a_1) e^1_1 + (1-a_2) e^2_1}

MRS_1 = MRS_2 \quad \text{(contract curve)}

이 씬이 포함된 학습 경로

일반균형과 후생경제학

예제

$a_1 = a_2 = 1/2$ , 총보유량 $W = (10, 10)$ , $e^1 = (7, 3)$ 인 2인 2재 경제를 생각하자.

경쟁균형 가격과 배분을 직접 계산하라.

p_1 = \frac{a_1 e^1_2 + a_2 e^2_2}{(1-a_1) e^1_1 + (1-a_2) e^2_1}

x^i(p, w_i) = \left(\frac{a_i w_i}{p_1}, (1-a_i) w_i\right), \quad w_i = p \cdot e^i

대칭 경제 — 균형가격

p_1 = 1

, 균형 배분

(5, 5)

증명 보기

$e^2 = (3, 7)$ 이다. 균형가격 공식에 대입하면 $p_1 = \frac{0.5 \cdot 3 + 0.5 \cdot 7}{0.5 \cdot 7 + 0.5 \cdot 3} = \frac{5}{5} = 1$ 이다 ( $p_2 = 1$ 기준).
부(wealth)는 $w_1 = 7 + 3 = 10$ , $w_2 = 3 + 7 = 10$ 이다.
콥-더글러스 수요는 $x^1 = (0.5 \cdot 10/1,\ 0.5 \cdot 10) = (5, 5)$ , $x^2 = (5, 5)$ 이다.
합하면 $(10, 10) = W$ 이므로 시장이 청산된다.

같은 경제에서 계약곡선과 코어를 구하고, 경쟁균형이 코어 안에 있음을 확인하라.

MRS_1 = MRS_2 \iff \frac{x^1_2}{x^1_1} = \frac{x^2_2}{x^2_1}

\text{core} = \{x \text{ on contract curve} : u_i(x^i) \ge u_i(e^i)\}

계약곡선은 대각선, 코어는

[4.58, 5.42]

구간.

증명 보기

$a_1 = a_2$ 이므로 $MRS_1 = MRS_2$ 는 $x^1_2/x^1_1 = x^2_2/x^2_1$ 이 되고, $x^2 = W - x^1$ 을 대입하면 계약곡선은 대각선 $x^1_2 = x^1_1$ 이다.
보유량에서의 효용은 $u_1(e^1) = \sqrt{21} \approx 4.58$ , $u_2(e^2) = \sqrt{21} \approx 4.58$ 이다.
대각선 위 점 $(x, x)$ 에서 $u_1 = x \ge 4.58$ , $u_2 = 10 - x \ge 4.58$ 이므로 코어는 $x \in [4.58, 5.42]$ 이다.
경쟁균형 $x^1 = (5, 5)$ 는 이 구간 안에 있다.

12. 균형과 후생