왈라스 수요와 수요곡선

$u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$ , $p_1 = 2$ , $p_2 = 1$ , $w = 60$ 일 때 재화 1의 왈라스 수요 $x_1(p, w)$ 를 구하고, 예산을 다 쓰는지 확인하라.

x_1(p, w) = \frac{aw}{p_1} = \frac{30}{2} = 15

x_2(p, w) = \frac{(1-a)w}{p_2} = 30, \quad p \cdot x = 2 \cdot 15 + 30 = 60 = w

a = 1/2

p_1 = 2

w = 60

— 수요곡선 위의 점

x_1 = 15

증명 보기

콥-더글러스 수요 공식 $x_1 = aw/p_1$ 에 $a = 1/2$ , $w = 60$ , $p_1 = 2$ 를 대입하면 $x_1 = 30/2 = 15$ 이다.
동시에 $x_2 = (1-a)w/p_2 = 30$ 이므로 총지출은 $2 \cdot 15 + 1 \cdot 30 = 60 = w$ — 예산을 남김없이 다 쓴다. 곡선 위의 표시점이 바로 이 수요량이다.

$u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$ , $p = (1, 1)$ , $w = 60$ 이라 하자.

$\lambda = 1.5$ 에 대해 $x_1(\lambda p, \lambda w) = x_1(p, w)$ 임을 직접 계산으로 보여라.

x_1(p, w) = \frac{0.5 \cdot 60}{1} = 30

x_1(\lambda p, \lambda w) = \frac{0.5 \cdot 90}{1.5} = 30

x(\lambda p, \lambda w) = x(p, w) \quad \text{(homogeneous of degree 0)}

\lambda = 1.5

—

x_1(p, w) = x_1(\lambda p, \lambda w) = 30

, 차이 0.

증명 보기

원래 수요는 $x_1 = 0.5 \cdot 60 / 1 = 30$ 이다. 가격과 부를 모두 $1.5$ 배 하면 분자와 분모에 $\lambda$ 가 같이 곱해진다: $x_1(\lambda p, \lambda w) = \frac{0.5 \cdot 90}{1.5} = 30$ .
두 값이 일치하므로 $|x_1(p, w) - x_1(\lambda p, \lambda w)| = 0$ 이다. 이는 우연이 아니라 예산제약 $(\lambda p) \cdot x \le \lambda w$ 가 $p \cdot x \le w$ 와 같은 집합이기 때문이다 — 왈라스 수요는 0차 동차이다.

이 씬이 포함된 학습 경로