연습문제 · 3. 소비자 선택

쉬움

1쉬움

$p_1 = 2$ , $p_2 = 1$ , $w = 60$ 일 때 예산선의 두 절편과 기울기를 구하라.

B_{p,w} = \{x \ge 0 : p_1 x_1 + p_2 x_2 \le w\}

절편

(30, 60)

, 기울기

-2

— 탐침

b = (15, 30)

은 예산선 위.

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2보통

$p = (1, 1)$ , $w = 60$ 에서 묶음 $(30, 30)$ 은 예산선 위에 있다.

$p_1$ 이 $2$ 로 오르면 이 묶음은 여전히 살 수 있는가? 예산선의 기하학적 변화를 함께 설명하라.

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원래 절편은 $(60, 60)$ 이었다. $p_1 = 2$ 가 되면 $x_1$ 절편만 $30$ 으로 줄고 $x_2$ 절편은 그대로이므로, 예산선은 $x_2$ 절편을 중심으로 안쪽으로 회전한다.
묶음 $(30, 30)$ 의 새 비용은 $2 \cdot 30 + 30 = 90 > 60$ 이므로 더 이상 살 수 없다. 가격이 오른 재화를 많이 담은 묶음일수록 타격이 크다 — 회전의 기하학이 그대로 드러난다.

3보통

$u(x_1, x_2) = x_1^{1/4} x_2^{3/4}$ , $p_1 = 2$ , $p_2 = 1$ , $w = 80$ 일 때 $x_1(p, w)$ 를 구하고, 가격과 부를 모두 2배 해도 수요가 변하지 않음을 확인하라.

x_1(p, w) = \frac{aw}{p_1}

a = 1/4

,

p_1 = 2

,

w = 80

,

\lambda = 2

—

x_1 = 10

불변.

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$a = 1/4$ 이므로 $x_1 = \frac{0.25 \cdot 80}{2} = 10$ 이다.
가격과 부를 2배 하면 $x_1(2p, 2w) = \frac{0.25 \cdot 160}{4} = 10$ — 분자와 분모의 2가 약분되어 원래 값과 같다. 수요곡선 위의 점은 그대로이다.

4어려움

$\lambda > 0$ 에 대해 아래 등식을 증명하고, 이로부터 왈라스 수요 $x(p, w)$ 가 0차 동차임을 UMP의 정의에서 직접 보여라.

B(p, w) = \{x \ge 0 : p \cdot x \le w\}

x(p, w) = \arg\max_{x \in B(p, w)} u(x)

B(\lambda p, \lambda w) = B(p, w)

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$x \in B(\lambda p, \lambda w)$ 는 $(\lambda p) \cdot x \le \lambda w$ 와 동치이다.
$\lambda > 0$ 이므로 양변을 $\lambda$ 로 나누면 $p \cdot x \le w$ , 즉 $x \in B(p, w)$ 이다.
역도 마찬가지이므로 두 집합은 같다.
UMP는 예산집합 위에서 효용을 극대화하는 문제이므로, 집합이 같으면 argmax도 같다: $x(\lambda p, \lambda w) = \arg\max_{B(\lambda p, \lambda w)} u = \arg\max_{B(p, w)} u = x(p, w)$ .
$x(\lambda p, \lambda w) = x(p, w) \quad \forall \lambda > 0$
가격과 부를 같은 비율로 바꾸면 예산집합 자체가 변하지 않으므로, 선택도 변할 수 없다 — 이것이 수요의 0차 동차성의 기하학적 이유이다.