예산집합

가격과 가진 돈이 정하는, 살 수 있는 조합의 영역을 그려본다.

두 물건에 쓴 돈의 합이 가진 돈을 넘으면 그 조합은 살 수 없다. 그 경계선이 예산선이다. 물건 하나가 비싸지면 선이 안쪽으로 회전한다. 돈이 늘면 선이 바깥으로 평행이동한다. 예산집합과 기울기의 식은 아래에 있다.

예를 들면, 용돈 6,000원으로 🍎 사과 한 개에 1,000원, 🍌 바나나 한 개에 2,000원을 쓴다. 사과만 사면 6개, 바나나만 사면 3개까지 된다. 사과값이 2,000원으로 오르면 사과는 3개까지만 살 수 있다.

B_{p,w} = \{x \in \mathbb{R}^2_+ : p_1 x_1 + p_2 x_2 \le w\}

\text{slope} = -\frac{p_1}{p_2}

이 씬이 포함된 학습 경로

$p_1 = 1$ , $p_2 = 2$ , $w = 60$ 일 때 예산선의 두 절편과 기울기를 구하고, 탐침 묶음 $b = (30, 15)$ 가 예산을 정확히 다 쓰는지 확인하라.

x_1\text{-intercept} = \frac{w}{p_1} = 60, \quad x_2\text{-intercept} = \frac{w}{p_2} = 30

\text{slope} = -\frac{p_1}{p_2} = -\frac{1}{2}

p \cdot b = 1 \cdot 30 + 2 \cdot 15 = 60 = w

p = (1, 2)

w = 60

, 탐침

b = (30, 15)

— 예산선 위에 정확히 놓임.

증명 보기

예산선 $p_1 x_1 + p_2 x_2 = w$ 에서 $x_2 = 0$ 을 두면 $x_1 = w/p_1 = 60$ , $x_1 = 0$ 을 두면 $x_2 = w/p_2 = 30$ 이다.
기울기는 $-\frac{p_1}{p_2} = -\frac{1}{2}$ 이다 — 재화 1을 한 단위 더 사려면 재화 2를 $1/2$ 단위 포기해야 한다는 뜻이다.
탐침 묶음의 비용은 $p \cdot b = 1 \cdot 30 + 2 \cdot 15 = 60 = w$ 이다. 예산을 남김없이 다 쓰므로 왈라스 법칙이 성립하고, 점 $b$ 는 예산선 위에 있다.

$p_2 = 1$ , $w = 60$ 에서 $p_1$ 이 $1$ 에서 $2$ 로 오르면 예산선은 어떻게 움직이는가?

묶음 $(30, 30)$ 은 새 가격에서도 살 수 있는가?

(60, 60) \xrightarrow{p_1: 1 \to 2} (30, 60) \quad \text{(intercepts)}

p' \cdot (30, 30) = 2 \cdot 30 + 30 = 90 > 60

p_1: 1 \to 2

p_2 = 1

w = 60

— 탐침

(30, 30)

은 더 이상 살 수 없음.

증명 보기

원래 절편은 $(w/p_1, w/p_2) = (60, 60)$ 이었다. $p_1 = 2$ 가 되면 $x_1$ 절편은 $60/2 = 30$ 으로 줄고, $x_2$ 절편은 $60/1 = 60$ 으로 그대로이다.
즉 예산선은 $x_2$ 절편을 중심으로 안쪽으로 회전한다 — 상대가격 $p_1/p_2$ 가 올랐으므로 기울기가 $-1$ 에서 $-2$ 로 가팔라졌다.
묶음 $(30, 30)$ 의 새 비용은 $2 \cdot 30 + 1 \cdot 30 = 90 > 60$ 이므로 예산집합에서 탈락한다. 그림에서 탐침 점이 음영 영역 밖에 찍히는 이유이다.