조세 vs 쿼터: 사중손실

세금과 쿼터는 서로 다른 정책 도구다. 그런데 둘 다 거래량을 줄인다.

도구를 바꿔도 사라지는 후생의 모양은 같다. 사중손실 삼각형의 넓이가 그대로 유지된다. 달라지는 것은 이전되는 몫의 행방뿐이다. 세금이면 나라의 세수가 되고, 쿼터면 쿼터를 쥔 사람의 지대가 된다.

예를 들면, 동네 🏪 가게가 🍬 사탕을 하루에 10개씩 팔고 있다고 하자. 나라가 하루 6개까지만 팔게 하면 4개의 거래가 사라진다. 사고 싶어도 못 사는 친구가 생긴다. 사라진 거래의 아쉬움이 바로 사중손실이다. 팔 수 있는 허가를 가진 가게는 그만큼 이득을 챙긴다.

DWLtax=t22(B+D),DWLquota=(B+D)(Q∗−Qˉ)22DWL_{tax} = \frac{t^2}{2(B+D)}, \qquad DWL_{quota} = \frac{(B+D)(Q^* - \bar{Q})^2}{2}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

수요 P=10−QP = 10 - Q, 공급 P=2+QP = 2 + Q에서 t=2t = 2인 조세의 사중손실을 하버거 삼각형의 넓이로 직접 계산하고, DWL=t2/(2(B+D))DWL = t^2/(2(B+D)) 공식과 대조하라.

DWL=t22(B+D)DWL = \frac{t^2}{2(B+D)}
조세 t=2t = 2 — 사중손실 삼각형의 밑변과 높이.
증명 보기

  1. 삼각형의 높이(가격 쐐기)는 t=2t = 2이고, 밑변(사라진 거래량)은 ΔQ=Q∗−Qt=4−3=1\Delta Q = Q^* - Q_t = 4 - 3 = 1이다. 넓이는 2⋅1/2=12 \cdot 1 / 2 = 1이다.

  2. 공식에 대입하면 DWL=22/(2⋅2)=1DWL = 2^2/(2 \cdot 2) = 1 — 일치한다. 사중손실은 세율의 제곱에 비례하므로, 세율을 두 배로 올리면 손실은 네 배가 된다.

    t→2t  ⇒  DWL→4⋅DWLt \to 2t \;\Rightarrow\; DWL \to 4 \cdot DWL

같은 시장에서 거래량을 Qˉ=3\bar{Q} = 3으로 묶는 쿼터의 사중손실을 구하고, 같은 거래량을 만드는 조세율과 비교하라.

DWLquota=(B+D)(Q∗−Qˉ)22DWL_{quota} = \frac{(B+D)(Q^* - \bar{Q})^2}{2}
쿼터 Qˉ=3\bar{Q} = 3 — 등가 조세율은 t=2t = 2.
증명 보기

  1. 쿼터에서 수요가격은 Pd(3)=7P_d(3) = 7, 공급가격은 Ps(3)=5P_s(3) = 5이므로 가격 간격은 22이다. 사중손실은 (7−5)⋅(4−3)/2=1(7-5)\cdot(4-3)/2 = 1이다.

  2. 같은 거래량 Qt=3Q_t = 3을 만드는 조세율은 t=(B+D)(Q∗−Qˉ)=2⋅1=2t = (B+D)(Q^* - \bar{Q}) = 2 \cdot 1 = 2이고, 그 사중손실도 11이다. 선형 모형에서 쿼터와 조세는 거래량만 같으면 같은 사중손실을 낸다 — 차이는 이전(transfer)이 세수냐 쿼터 지대냐이다.

9. 경쟁시장