효용극대화

이 씬에서는 예산선과 무차별곡선이 만나 만드는 최적점을 찾는다.

최적점은 예산선이 곡선에 살짝 닿는 자리다. 가격이나 부를 움직이면 최적점이 미끄러져 따라간다. 그 자리에서는 아래 식처럼 한계대체율이 가격 비율과 같아진다. 매 순간 숫자로 확인한다.

예를 들면, 💰 돈 6,000원으로 🍎 사과와 🍌 바나나를 산다. 둘 다 1,000원이고 반반 좋아하면 사과 3개, 바나나 3개가 최적이다. 사과가 비싸지면 사과를 줄이고 바나나를 늘린다.

\max_x u(x) \quad \text{s.t.} \quad p \cdot x \le w

x^*(p, w) = \left(\frac{aw}{p_1}, \frac{(1-a)w}{p_2}\right)

이 씬이 포함된 학습 경로

$u = x_1^{1/2}x_2^{1/2}$ , $p_1 = p_2 = 1$ , $w = 60$ 일 때 1계 조건으로 최적점을 구하고, 접점 조건인 아래 식을 확인하라.

\mathcal{L} = x_1^{1/2}x_2^{1/2} + \lambda(w - p_1 x_1 - p_2 x_2)

\frac{1}{2}x_1^{-1/2}x_2^{1/2} = \lambda p_1, \quad \frac{1}{2}x_1^{1/2}x_2^{-1/2} = \lambda p_2

MRS = p_1/p_2

a = 1/2

p = (1,1)

w = 60

증명 보기

두 1계 조건을 나누면 $\lambda$ 가 소거되어 $\frac{x_2}{x_1} = \frac{p_1}{p_2}$ — 즉 $MRS = p_1/p_2$ 이다.
$p_1 = p_2$ 이므로 $x_1 = x_2$ . 예산제약 $x_1 + x_2 = 60$ 에서 $x^* = (30, 30)$ 이다. 그림에서 예산선과 무차별곡선이 $(30,30)$ 에서 접한다.

콥-더글러스 간접효용 $v(p, w)$ 에 로이 항등식인 아래 식을 적용해 왈라스 수요를 복원하라.

v(p, w) = a^a (1-a)^{1-a} \frac{w}{p_1^a p_2^{1-a}}

x_1 = -\frac{\partial v/\partial p_1}{\partial v/\partial w}

p_1 = 2

로 올린 경우 — 수요

x_1 = 15

증명 보기

$v$ 를 미분하면 $\partial v/\partial p_1 = -a \cdot v/p_1$ , $\partial v/\partial w = v/w$ 이다.
따라서 $-\frac{\partial v/\partial p_1}{\partial v/\partial w} = \frac{a v/p_1}{v/w} = \frac{aw}{p_1}$ — 왈라스 수요와 정확히 일치한다. 프리셋에서는 $x_1 = 0.5 \cdot 60/2 = 15$ 이다.