슬러츠키 분해

이 씬에서는 가격이 오르면 수요가 왜 줄어드는지 쪼개 본다.

가격 변화는 두 가지 효과를 함께 몰고 온다. 대체효과는 비싸진 재화를 피하게 한다. 소득효과는 전보다 가난해진 느낌에서 온다. 보상을 옛 묶음 기준으로 줄지, 옛 효용 기준으로 줄지 바꿔 본다. 두 방식이 아래 식을 어떻게 다르게 나누는지 확인한다.

예를 들면, 🍎 사과 값이 오르면 🍌 바나나로 갈아타는 게 대체효과다. 그런데 💰 돈이 부족해진 기분이라 과일 전체를 줄이면 그게 소득효과다.

Δxl=ΔxlS+ΔxlI\Delta x_l = \Delta x_l^{S} + \Delta x_l^{I}
∂xl∂pk=∂hl∂pk−∂xl∂wxk\frac{\partial x_l}{\partial p_k} = \frac{\partial h_l}{\partial p_k} - \frac{\partial x_l}{\partial w} x_k

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

u(x1,x2)=x11/2x21/2u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} x_2^{1/2}, p2=1p_2 = 1, w=60w = 60이라 하자.

p1p_1이 11에서 22로 오를 때 Slutsky 보상에 따른 대체효과와 소득효과의 부호를 직접 계산으로 확인하라.

A=x(p,w)=(awp1,(1−a)wp2)=(30,30)A = x(p, w) = \left(\frac{aw}{p_1}, \frac{(1-a)w}{p_2}\right) = (30, 30)
w′=p′⋅A=2⋅30+30=90,B=x(p′,w′)=(22.5,45)w' = p' \cdot A = 2 \cdot 30 + 30 = 90, \quad B = x(p', w') = (22.5, 45)
C=x(p′,w)=(15,30)C = x(p', w) = (15, 30)
a=1/2a = 1/2, p1:1→2p_1: 1 \to 2, w=60w = 60 — Slutsky 보상.
증명 보기

  1. 콥-더글러스 수요는 x1=aw/p1x_1 = aw/p_1이다. 원래 최적점은 A=(30,30)A = (30, 30)이다.

  2. Slutsky 보상소득은 옛 묶음을 새 가격에 살 수 있게 한다: w′=2⋅30+1⋅30=90w' = 2 \cdot 30 + 1 \cdot 30 = 90. 보상된 최적점은 B=(90/4,90/2)=(22.5,45)B = (90/4, 90/2) = (22.5, 45)이다.

  3. 대체효과는 B1−A1=22.5−30=−7.5<0B_1 - A_1 = 22.5 - 30 = -7.5 < 0 — 보상된 수요법칙대로 음수이다.

    새 최적점은 C=(15,30)C = (15, 30)이므로 소득효과는 C1−B1=15−22.5=−7.5<0C_1 - B_1 = 15 - 22.5 = -7.5 < 0이다.

    콥-더글러스는 정상재이므로 소득효과도 같은 방향이다.

    Δx1=−7.5⏟substitution+(−7.5)⏟income=−15\Delta x_1 = \underbrace{-7.5}_{\text{substitution}} + \underbrace{(-7.5)}_{\text{income}} = -15

같은 수치 예에서 Hicks 보상점 BhB^h가 원래 무차별곡선 위에 정확히 놓임을 보이고, Slutsky 보상점 BB는 그보다 높은 효용을 줌을 확인하라.

u0=30⋅30=30u_0 = \sqrt{30 \cdot 30} = 30
e(p′,u0)=u0(p1′a)a(p21−a)1−a=30⋅41/2⋅21/2=308e(p', u_0) = u_0 \left(\frac{p_1'}{a}\right)^a \left(\frac{p_2}{1-a}\right)^{1-a} = 30 \cdot 4^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 30\sqrt{8}
a=1/2a = 1/2, p1:1→2p_1: 1 \to 2, w=60w = 60 — Hicks 보상.
증명 보기

  1. 원래 효용은 u0=30⋅30=30u_0 = \sqrt{30 \cdot 30} = 30이다. Hicks 보상지출은 e(p′,u0)=308≈84.85e(p', u_0) = 30\sqrt{8} \approx 84.85이고, 힉스 수요는 Bh=(e/4,e/2)≈(21.21,42.43)B^h = (e/4, e/2) \approx (21.21, 42.43)이다.

  2. u(Bh)=21.21×42.43=30=u0u(B^h) = \sqrt{21.21 \times 42.43} = 30 = u_0 — 정의대로 원래 무차별곡선 위에 있다. 반면 Slutsky 점 B=(22.5,45)B = (22.5, 45)의 효용은 u(B)=22.5×45≈31.82>30u(B) = \sqrt{22.5 \times 45} \approx 31.82 > 30이다. Slutsky 보상은 옛 묶음을 살 수 있게 하므로, 최적화를 다시 하면 효용이 올라간다 — 그림에서 점선 무차별곡선이 실선보다 바깥에 있는 이유이다.

4. 고전적 수요이론