무차별곡선과 한계대체율

이 씬에서는 콥-더글러스 효용의 무차별곡선 지도를 그린다.

무차별곡선은 똑같이 좋은 묶음들을 이은 선이다. 기준점을 옮기면 지도 전체가 다시 그려진다. 한계대체율은 아래 식처럼 그 점의 접선 기울기로 읽힌다. 한 재화 1개를 다른 재화 몇 개와 바꿀 수 있는지 알려준다.

예를 들면, 🍎 사과 1개를 포기하고 🍌 바나나 2개를 더 받으면 똑같이 만족한다. 그때 한계대체율은 2다. 사과가 줄어들수록 남은 사과 1개의 값어치는 더 커진다.

u(x_1, x_2) = x_1^a x_2^{1-a}

MRS(x) = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = \frac{a}{1-a}\frac{x_2}{x_1}

이 씬이 포함된 학습 경로

콥-더글러스 효용 $u(x_1, x_2) = x_1^a x_2^{1-a}$ 의 한계대체율이 $MRS = \frac{a}{1-a}\frac{x_2}{x_1}$ 임을 미분으로 유도하라.

MRS(x) = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2}

a = 0.4

, 기준점

(4, 4)

증명 보기

편미분을 계산한다: $\partial u/\partial x_1 = a x_1^{a-1} x_2^{1-a}$ , $\partial u/\partial x_2 = (1-a) x_1^a x_2^{-a}$ .
나누면 $x_1$ 과 $x_2$ 의 거듭제곱이 정리되어 $MRS = \frac{a}{1-a}\frac{x_2}{x_1}$ 이 된다. 프리셋에서는 $MRS = \frac{0.4}{0.6} \cdot 1 = \frac{2}{3}$ — 그림의 파란 점선이 그 기울기이다.

$x_1$ 이 늘어날수록 무차별곡선이 평평해짐(한계대체율 체감)을 수식으로 보이고, 그림에서 슬라이더로 확인하라.

x_1

을

4

에서

8

로 — MRS가 절반으로.

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$MRS = \frac{a}{1-a}\frac{x_2}{x_1}$ 에서 $x_1$ 이 커지면 분모가 커져 MRS가 작아진다 — 곡선이 평평해진다.
프리셋 $(8, 4)$ 에서 $MRS = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{3}$ — 기준점 $(4,4)$ 에서의 $2/3$ 의 정확히 절반이다. 볼록한 무차별곡선의 기하학이 곧 한계대체율 체감이다.