지출극소화와 쌍대성

이 씬에서는 목표 효용을 가장 싸게 채우는 방법을 찾는다.

이번에는 방향이 반대다. 만족 수준을 먼저 정하고 비용을 최소로 줄인다. 가장 싼 묶음은 등비용선이 무차별곡선에 닿는 자리다. 거울을 켜면 앞 씬의 최적 묶음과 정확히 겹친다. 두 문제가 거울처럼 같다는 것이 쌍대성이다.

예를 들면, 🍞 빵 2개와 🥛 우유 1잔만큼의 만족을 꼭 채우고 싶다. 그 만족을 가장 싸게 사는 조합을 고르는 것이 이 문제다. 💰 돈을 아끼려면 비싼 쪽을 줄이고 싼 쪽을 늘린다.

min⁡xp⋅xs.t.u(x)≥u\min_x p \cdot x \quad \text{s.t.} \quad u(x) \ge u
h(p,u)=x(p,e(p,u)),x(p,w)=h(p,v(p,w))h(p, u) = x(p, e(p, u)), \qquad x(p, w) = h(p, v(p, w))

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

콥-더글러스 지출함수 e(p,u)=u(p1a)a(p21−a)1−ae(p, u) = u\left(\frac{p_1}{a}\right)^a\left(\frac{p_2}{1-a}\right)^{1-a}를 p1p_1으로 미분해 셰퍼드 보조정리인 아래 식을 직접 확인하라.

e(p,u)=u(p1a)a(p21−a)1−ae(p, u) = u \left(\frac{p_1}{a}\right)^a \left(\frac{p_2}{1-a}\right)^{1-a}
h1=∂e/∂p1h_1 = \partial e/\partial p_1
a=1/2a = 1/2, p1=2p_1 = 2, 목표효용 u=6u = 6.
증명 보기

  1. p1p_1에 대해 미분하면 지수 aa가 내려오고 aa가 약분된다: ∂e/∂p1=u(p1a)a−1(p21−a)1−a\partial e/\partial p_1 = u \left(\frac{p_1}{a}\right)^{a-1} \left(\frac{p_2}{1-a}\right)^{1-a}.

  2. 한편 힉스 수요는 h1=ea/p1h_1 = ea/p_1이다. ee의 식을 대입하면 h1=u(p1a)a−1(p21−a)1−ah_1 = u\left(\frac{p_1}{a}\right)^{a-1}\left(\frac{p_2}{1-a}\right)^{1-a} — 미분 결과와 일치한다.

프리셋 수치에서 아래 항등식이 성립함을 소수점 아래까지 확인하고, 이것이 쌍대성의 의미임을 설명하라.

e=6⋅41/2⋅21/2=68≈16.97e = 6 \cdot 4^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 6\sqrt{8} \approx 16.97
h(p,u)=(eap1,e(1−a)p2)≈(4.24,8.49)h(p, u) = \left(\frac{ea}{p_1}, \frac{e(1-a)}{p_2}\right) \approx (4.24, 8.49)
h(p,u)=x(p,e(p,u))h(p, u) = x(p, e(p, u))
UMP 거울 표시 — 두 점이 겹친다.
증명 보기

  1. 지출극소화의 해는 h≈(4.24,8.49)h \approx (4.24, 8.49)이다. 이제 부를 w=e≈16.97w = e \approx 16.97로 둔 UMP를 풀면 왈라스 수요 x(p,w)=(aw/p1,(1−a)w/p2)≈(4.24,8.49)x(p, w) = (aw/p_1, (1-a)w/p_2) \approx (4.24, 8.49) — 같은 점이다.

  2. 이것이 쌍대성이다: 목표효용 uu를 최소비용으로 달성하는 문제는, 그 최소비용을 부로 주는 효용극대화 문제와 같은 해를 갖는다. 그림에서 점선 원(UMP 거울)이 실점 h∗h^* 위에 정확히 겹친다.

4. 고전적 수요이론