연습문제 · 4. 고전적 수요이론

쉬움

1쉬움

$u(x_1, x_2) = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$ , $p_1 = 2$ , $p_2 = 3$ , $w = 120$ 일 때 왈라스 수요 $x(p, w)$ 와 간접효용 $v(p, w)$ 를 구하라.

x_l(p, w) = \frac{a_l w}{p_l}

a = 1/3

,

p = (2, 3)

,

w = 120

에서의 접점.

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콥-더글러스 수요 공식에 $a = 1/3$ 을 대입한다: $x_1 = \frac{(1/3) \cdot 120}{2} = 20$ , $x_2 = \frac{(2/3) \cdot 120}{3} = \frac{80}{3}$ .
간접효용은 $v = 20^{1/3} (80/3)^{2/3}$ 이다. 예산을 전부 썼는지 확인하면 $2 \cdot 20 + 3 \cdot 80/3 = 120$ — 왈라스 법칙이 성립한다.

2쉬움

$p_1 = 1$ , $p_2 = 2$ , $w = 100$ 인 예산선에서 $w$ 가 $150$ 으로 오르면 예산선이 어떻게 움직이는가?

$a = 1/2$ 인 콥-더글러스 소비자의 새 최적점을 구하라.

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소득만 오르면 예산선은 바깥쪽으로 평행이동한다: 절편이 $(100, 50)$ 에서 $(150, 75)$ 로 바뀐다.
수요는 부에 비례하므로 $x_1 = 0.5 \cdot 150/1 = 75$ , $x_2 = 0.5 \cdot 150/2 = 37.5$ — 원래 $(50, 25)$ 에서 정확히 $1.5$ 배가 되었다.

3보통

$u = x_1^{1/4} x_2^{3/4}$ , $p_2 = 1$ , $w = 80$ 이라 하자.

$p_1$ 이 $1$ 에서 $4$ 로 오를 때 Slutsky 분해의 대체효과·소득효과·총효과를 구하라.

A = x(p, w), \quad w' = p' \cdot A, \quad B = x(p', w'), \quad C = x(p', w)

a = 1/4

,

p_1: 1 \to 4

,

w = 80

— 대체

-11.25

, 소득

-3.75

.

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$a = 1/4$ 이므로 $A = (0.25 \cdot 80/1,\ 0.75 \cdot 80/1) = (20, 60)$ . Slutsky 보상소득은 $w' = 4 \cdot 20 + 60 = 140$ 이다.
$B = (0.25 \cdot 140/4,\ 0.75 \cdot 140) = (8.75, 105)$ , $C = (0.25 \cdot 80/4,\ 0.75 \cdot 80) = (5, 60)$ 이다.
대체효과 $= 8.75 - 20 = -11.25$ , 소득효과 $= 5 - 8.75 = -3.75$ , 총효과 $= 5 - 20 = -15$ . 대체효과가 음수이고, 정상재이므로 소득효과도 음수이다.
$-15 = \underbrace{-11.25}_{\text{substitution}} + \underbrace{(-3.75)}_{\text{income}}$

4보통

지출함수 $e(p, u)$ 가 가격에 대해 1차 동차임을 EMP의 정의에서 직접 증명하라.

e(p, u) = \min_{u(x) \ge u} p \cdot x

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$\alpha > 0$ 에 대해 $e(\alpha p, u) = \min_{u(x)\ge u} (\alpha p) \cdot x = \alpha \min_{u(x)\ge u} p \cdot x = \alpha e(p, u)$ 이다. 제약집합이 가격과 무관하므로 $\alpha$ 를 밖으로 꺼낼 수 있다.
경제적 의미: 모든 가격이 두 배가 되면 같은 효용을 사는 데 드는 최소 비용도 정확히 두 배가 된다 — 돈의 단위가 바뀌었을 뿐이다.

5어려움

콥-더글러스 효용에서는 기펜재가 나올 수 없음을 슬러츠키 방정식으로 증명하라.

\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \frac{\partial h_1}{\partial p_1} - \frac{\partial x_1}{\partial w} x_1

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콥-더글러스에서 $\partial x_1/\partial w = a/p_1 > 0$ — 재화 1은 항상 정상재이다. 따라서 소득효과 $-(\partial x_1/\partial w) x_1$ 은 항상 음수이다.
대체효과 $\partial h_1/\partial p_1 \le 0$ 도 항상 0 이하이므로(보상된 수요법칙), 총효과는 두 음수의 합 — 항상 음수이다. 기펜재( $\partial x_1/\partial p_1 > 0$ )는 불가능하다.

6어려움

쌍대 항등식 $e(p, v(p, w)) = w$ 를 UMP와 EMP의 정의로부터 증명하라(내부해와 국소 비포화를 가정).

v(p, w) = \max_{p \cdot x \le w} u(x), \qquad e(p, u) = \min_{u(x) \ge u} p \cdot x

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$x^* = x(p, w)$ 를 UMP의 해라 하자.
국소 비포화이므로 $p \cdot x^* = w$ 이고 $u(x^*) = v(p, w)$ 이다.
$x^*$ 는 EMP(목표효용 $v(p,w)$ )의 가능해이므로 $e(p, v(p, w)) \le p \cdot x^* = w$ 이다.
반대로 $e(p, v(p,w)) < w$ 라 가정하면, 그 EMP 해 $y$ 는 $p \cdot y < w$ 이면서 $u(y) \ge v(p, w)$ 를 만족한다.
국소 비포화에서 $y$ 근처에 $u$ 가 더 큰 가능 묶음이 있어 $v(p, w)$ 의 최대성에 모순이다.
따라서 등호가 성립한다.