대표적 소비자

선호가 같은 두 콥-더글러스 소비자 $a = 1/2$ , 총부 $W = 120$ , $p_2 = 1$ 이라 하자.

부의 분배가 $s = 0.2$ 일 때와 $s = 0.8$ 일 때 $p_1 = 1$ 에서의 총수요 $X_1$ 을 각각 계산하고, 분배와 무관하게 같음을 확인하라.

X_1 = \frac{a w_1}{p_1} + \frac{a w_2}{p_1} = \frac{aW}{p_1}

s = 0.2:\; 12 + 48 = 60, \qquad s = 0.8:\; 48 + 12 = 60

a = 1/2

W = 120

s = 0.2

— 유령 곡선(

s = 0.5

)과 완전히 겹친다.

증명 보기

$s = 0.2$ 이면 $w_1 = 24$ , $w_2 = 96$ 이므로 $X_1 = 0.5 \cdot 24 + 0.5 \cdot 96 = 12 + 48 = 60$ 이다.
$s = 0.8$ 이면 $w_1 = 96$ , $w_2 = 24$ 이므로 $X_1 = 48 + 12 = 60$ — 개별 수요는 뒤바뀌었지만 합은 같다.
일반적으로 $X_1 = a sW/p_1 + a(1-s)W/p_1 = aW/p_1$ 에서 $s$ 가 소거된다. 총부 $W$ 만으로 총수요가 정해지므로, 부 $W$ 를 가진 단일 소비자(콥-더글러스, 모수 $a$ )가 이 경제의 "대표적 소비자"이다.

콥-더글러스 간접효용 $v(p, w) = b(p)\,w$ (단, $b(p) = a^a (1-a)^{1-a} / (p_1^a p_2^{1-a})$ )가 공통 $b(p)$ 를 갖는 Gorman 형태임을 확인하고,

Roy 항등식으로 $a = 0.6$ , $W = 150$ , $s = 0.3$ , $p_1 = 2$ 일 때 $X_1$ 을 구하라.

v_i(p, w_i) = 0 \cdot \alpha_i(p) + b(p)\,w_i \quad \text{(Gorman, common } b\text{)}

X_1 = \frac{0.6 \cdot 150}{2} = 45

a = 0.6

W = 150

s = 0.3

p_1 = 2

—

X_1 = 45

, 분배 무관.

증명 보기

콥-더글러스 수요 $x(p, w) = (aw/p_1, (1-a)w/p_2)$ 를 효용에 대입하면 $v(p, w) = w \cdot a^a (1-a)^{1-a} / (p_1^a p_2^{1-a}) = b(p)\,w$ 이다. 두 소비자의 $a$ 가 같으므로 $b(p)$ 도 같고, $\alpha_i(p) = 0$ 인 Gorman 형태이다.
Roy 항등식: $x_1^i = -\frac{\partial v_i / \partial p_1}{\partial v_i / \partial w} = -\frac{b'(p) w_i}{b(p)} = \frac{a w_i}{p_1}$ (마지막 등식은 $b(p)$ 의 형태에서 직접 계산된다).
합하면 분모의 $b(p)$ 가 공통이라 $X_1 = -b'(p)W / b(p) = aW/p_1 = 0.6 \cdot 150 / 2 = 45$ — 개별 부 $w_1 = 45$ , $w_2 = 105$ 는 $13.5 + 31.5 = 45$ 로만 기여한다.

이 씬이 포함된 학습 경로