연습문제 · 5. 총수요

쉬움

1쉬움

세 콥-더글러스 소비자의 모수가 $a = (0.4, 0.5, 0.6)$ , 부가 $w_i = 50$ , $p_2 = 1$ 이라 하자.

$p_1 = 2$ 일 때 각자의 $x_1^i$ 와 총수요 $X_1$ 을 구하라.

x_1^i(p_1) = \frac{a_i w_i}{p_1}

a = (0.4, 0.5, 0.6)

,

w_i = 50

,

p_1 = 2

에서의 합산.

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$x_1^1 = 0.4 \cdot 50 / 2 = 10$ , $x_1^2 = 0.5 \cdot 50 / 2 = 12.5$ , $x_1^3 = 0.6 \cdot 50 / 2 = 15$ 이다.
더하면 $X_1 = 10 + 12.5 + 15 = 37.5$ 이다. 총수요는 그저 개별 수요의 합 — "시장수요곡선"의 정의 그 자체이다.

2보통

각 소비자 $i$ 가 왈라스 법칙 $p \cdot x^i(p, w_i) = w_i$ 를 만족한다고 하자 (수요함수의 형태는 가정하지 않는다).

이때 총수요 $X(p) = \sum_i x^i(p, w_i)$ 도 $p \cdot X(p) = \sum_i w_i$ 를 만족함을 증명하라.

X(p) = \sum_i x^i(p, w_i)

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내적은 덧셈에 대해 선형이므로 $p \cdot X(p) = p \cdot \sum_i x^i(p, w_i) = \sum_i p \cdot x^i(p, w_i)$ 이다.
각 항에 개별 왈라스 법칙을 적용하면 $\sum_i p \cdot x^i(p, w_i) = \sum_i w_i$ 이다. 수요함수의 모양(콥-더글러스든 아니든)은 전혀 쓰이지 않았다 — 합산이 선형 연산이기 때문이다.
$p \cdot X(p) = \sum_i p \cdot x^i(p, w_i) = \sum_i w_i$

3보통

선호가 같은 두 콥-더글러스 소비자 $a = 1/2$ , 총부 $W = 100$ , $p_1 = 1$ , $p_2 = 1$ 이라 하자.

분배가 $s = 0.25$ 일 때와 $s = 0.75$ 일 때의 $X_1$ 을 각각 계산하고, 개별 수요는 바뀌어도 총수요는 그대로임을 확인하라.

a = 1/2

,

W = 100

,

s = 0.25

— 가는 개별 곡선은 움직여도 굵은 총수요곡선은 고정.

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$s = 0.25$ 이면 $w_1 = 25$ , $w_2 = 75$ 이므로 $x_1^1 = 12.5$ , $x_1^2 = 37.5$ , 합은 $X_1 = 50$ 이다.
$s = 0.75$ 이면 $w_1 = 75$ , $w_2 = 25$ 이므로 $x_1^1 = 37.5$ , $x_1^2 = 12.5$ — 개별 수요는 뒤바뀌었지만 $X_1 = 50$ 으로 동일하다. 두 경우 모두 $X_1 = aW/p_1 = 0.5 \cdot 100 = 50$ 이기 때문이다.

4어려움

$I$ 명의 소비자의 간접효용이 공통의 $b(p)$ 를 갖는 Gorman 형태 $v_i(p, w_i) = \alpha_i(p) + b(p)\,w_i$ (단 $b(p) > 0$ )를 따른다고 하자.

Roy 항등식으로 각자의 수요를 구하고, 총수요 $X(p)$ 가 총부 $W = \sum_i w_i$ 에만 의존함을 증명하라.

또한 이 총수요를 재현하는 대표적 소비자의 간접효용을 제시하라.

v_i(p, w_i) = \alpha_i(p) + b(p)\,w_i

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Roy 항등식 $x^i = -\nabla_p v_i / \partial v_i / \partial w$ 에 대입하면 분자가 $-(\nabla \alpha_i(p) + \nabla b(p)\,w_i)$ , 분모가 $b(p)$ 이므로 $x^i(p, w_i) = -\frac{\nabla \alpha_i(p)}{b(p)} - \frac{\nabla b(p)}{b(p)}\,w_i$ 이다.
$i$ 에 대해 합하면 $b(p)$ 가 공통이라 $X(p) = -\frac{\sum_i \nabla \alpha_i(p)}{b(p)} - \frac{\nabla b(p)}{b(p)}\,W$ — 개별 부 $w_i$ 는 총부 $W$ 로만 들어간다. 분배는 총수요에 영향을 주지 않는다.
$X(p) = -\frac{\sum_i \nabla \alpha_i(p)}{b(p)} - \frac{\nabla b(p)}{b(p)}\,W$
대표적 소비자: 간접효용 $V(p, W) = \sum_i \alpha_i(p) + b(p)\,W$ 를 갖는 단일 소비자는 Roy 항등식으로 정확히 위 $X(p)$ 를 재현한다. 즉 Gorman 형태(공통 부의 한계효용 $b(p)$ )는 대표적 소비자 존재의 충분조건이다.