수요의 합산

세 콥-더글러스 소비자 $a = (0.3, 0.5, 0.7)$ , $w_i = 60$ , $p_2 = 1$ 이라 하자.

$p_1 = 1$ 에서 총수요 $X(p)$ 를 직접 계산하고, 총지출 $p \cdot X(p)$ 가 총부 $W$ 와 정확히 같음을(왈라스 법칙) 확인하라.

x_1^i = \frac{a_i w_i}{p_1}, \quad x_2^i = \frac{(1-a_i) w_i}{p_2}

X_1 = 18 + 30 + 42 = 90, \quad X_2 = 42 + 30 + 18 = 90

a = (0.3, 0.5, 0.7)

w_i = 60

p_1 = 1

— 왈라스 법칙 수치 확인.

증명 보기

개별 수요는 $x_1^i = a_i \cdot 60 / 1 = 18, 30, 42$ 이고, $x_2^i = (1 - a_i) \cdot 60 = 42, 30, 18$ 이다.
더하면 $X_1 = 90$ , $X_2 = 90$ 이다. 총지출은 $p \cdot X = 1 \cdot 90 + 1 \cdot 90 = 180$ 이다.
총부는 $W = 60 + 60 + 60 = 180$ 이므로 $p \cdot X = W$ 가 정확히 성립한다. 각 소비자가 예산을 전부 쓰면(개별 왈라스 법칙), 합친 총수요도 총부를 전부 쓴다 — 합산은 선형이라 성질이 그대로 살아남는다.
$p \cdot X(p) = \sum_i p \cdot x^i(p, w_i) = \sum_i w_i = W$

이제 소비자 1이 재화 1을 강하게 선호하게 되어 $a = (0.9, 0.2, 0.2)$ 가 되었다고 하자 (부는 그대로 $w_i = 60$ ).

$p_1 = 1$ 에서 총수요곡선이 위로 이동함을 계산으로 보이고, 그래도 왈라스 검사가 여전히 정확히 맞아떨어짐을 확인하라.

X_1 = 54 + 12 + 12 = 78, \quad X_2 = 6 + 48 + 48 = 102

p \cdot X = 78 + 102 = 180 = W

a = (0.9, 0.2, 0.2)

w_i = 60

p_1 = 1

— 선호 이동 후에도 왈라스 법칙.

증명 보기

새 개별 수요: $x_1 = 54, 12, 12$ 이므로 $X_1 = 78$ — 이전 예의 $90$ 에서 이동했다. 총수요곡선은 선호의 분포에 민감하다.
한편 $x_2 = 6, 48, 48$ 이므로 $X_2 = 102$ , 총지출은 $78 + 102 = 180 = W$ 이다. 소비자 1이 재화 1에 쓰는 돈이 늘어난 만큼( $+36$ ) 재화 2에 쓰는 돈이 줄었고( $-36$ ), 전체 지출은 총부에 묶여 있다.
교훈: 총수요의 "모양"은 선호 분포에 따라 바뀌지만, $p \cdot X = W$ 라는 "제약"은 어떤 분포에서도 깨지지 않는다.

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