교육 신호

생산성이 $\theta_H = 2$ , $\theta_L = 1$ 인 두 유형, 교육비용 $c(e, \theta) = e/\theta$ 이라 하자.

기업이 $e \ge 1$ 이면 임금 $2$ , $e < 1$ 이면 임금 $1$ 을 준다고 믿을 때, $e^* = 1$ 이 최소비용 분리균형임을 두 유형의 유인제약으로 확인하라.

U_H(e) = w(e) - \frac{e}{2}, \qquad U_L(e) = w(e) - e

w(e) = \begin{cases} 2 & e \ge 1 \\ 1 & e < 1 \end{cases}

e^* = 1

— 저유형의 유인제약이 정확히 맞아떨어지는 최소비용 분리균형.

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$e^* = 1$ 에서 고유형의 보수는 $U_H(1) = 2 - 1/2 = 1.5$ 이다. $e = 0$ 으로 이탈하면 임금 $1$ 을 받아 보수가 $1$ 이 되므로, $1.5 > 1$ 에서 이탈하지 않는다 — 고유형의 참여제약( $e^* \le 2$ )이 성립한다.
저유형의 보수는 $U_L(1) = 2 - 1 = 1$ 이다.
$e = 0$ 을 선택해도 보수는 $1 - 0 = 1$ 이므로 모방할 유인이 없다 — 저유형의 유인제약( $e^* \ge 1$ )이 등호로 성립한다.
이것이 최소비용 균형인 이유이다: $e$ 를 조금만 낮춰도 저유형이 따라온다.
고유형이 치르는 신호비용은 $e^*/\theta_H = 0.5$ 이다. 생산성에는 아무런 기여도 하지 않으면서 임금 $2$ 를 받기 위해 태우는 순수한 낭비이다.
$\text{signaling cost} = \frac{1}{2} = 0.5, \qquad U_H = 1.5 > 1 = U_H(0), \quad U_L = 1 = U_L(0)$

같은 모형에서 $e = 0.5$ 를 분리균형의 교육수준으로 제안할 수 없는 이유를 저유형의 모방 유인으로 설명하라.

U_L(0.5) = 1 - 0.5 = 0.5, \qquad U_L(1) = 2 - 1 = 1

e = 0.5

— 저유형이

e = 1

로 모방해 임금

2

를 노리므로 분리되지 않는다.

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$e = 0.5$ 에서는 임금이 $1$ 이므로 저유형의 보수는 $U_L(0.5) = 1 - 0.5 = 0.5$ 이다. 그러나 $e = 1$ 을 선택하면 임금 $2$ 를 받아 보수가 $U_L(1) = 2 - 1 = 1 > 0.5$ 가 된다.
따라서 저유형은 고유형을 모방할 유인이 있고, $e = 0.5$ 는 분리균형이 될 수 없다. 분리가 성립하려면 저유형의 유인제약 $2 - e^* \le 1$ , 즉 $e^* \ge \theta_L(\theta_H - \theta_L) = 1$ 을 만족해야 한다.

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