선별 메뉴

파는 사람이 메뉴를 내놓고 손님이 스스로 고르는 장면입니다.

판매자는 누가 큰손인지 모릅니다. 그래서 크기 다른 상품 두 개를 내놓습니다. 큰 상품은 제대로 만듭니다. 작은 상품은 일부러 줄입니다. 작게 줄여야 큰손이 거짓말을 하지 않습니다. 대신 큰손은 정보 지대라는 덤을 가져갑니다. 아래 식이 두 상품의 크기를 정합니다.

예를 들면, 🏪 가게가 🍬 사탕을 큰 📦 상자와 작은 상자로 팝니다. 돈을 많이 낼 손님은 큰 상자를 고릅니다. 작은 상자를 아주 작게 만들어 둡니다. 그러면 큰손이 작은 손님인 척하면 손해입니다. 그래서 큰손은 솔직하게 큰 상자를 고릅니다.

qL=θL−λ1−λ(θH−θL),qH=θHq_L = \theta_L - \frac{\lambda}{1-\lambda}(\theta_H - \theta_L), \qquad q_H = \theta_H
UH=(θH−θL) qLU_H = (\theta_H - \theta_L)\, q_L

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

θH=2\theta_H = 2, θL=1\theta_L = 1, P(θH)=λ=0.3P(\theta_H) = \lambda = 0.3, 구매자 효용 θq−t\theta q - t, 판매자 비용 q2/2q^2/2인 Mussa-Rosen 모형에서 최적 메뉴 (qL,tL)(q_L, t_L), (qH,tH)(q_H, t_H)를 구하고,

고유형의 정보 지대와 IRLIR_L·ICHIC_H가 맞아떨어짐을 확인하라.

qL=θL−λ1−λ(θH−θL)=1−0.30.7=47q_L = \theta_L - \frac{\lambda}{1-\lambda}(\theta_H - \theta_L) = 1 - \frac{0.3}{0.7} = \frac{4}{7}
qH=θH=2q_H = \theta_H = 2
λ=0.3\lambda = 0.3 — 하단은 qL=4/7q_L = 4/7로 왜곡, 상단은 왜곡 없음.
증명 보기

  1. 하향 왜곡 공식에 대입하면 qL=1−(0.3/0.7)⋅1=4/7≈0.5714q_L = 1 - (0.3/0.7)\cdot 1 = 4/7 \approx 0.5714이고, 상단 왜곡 없음(no distortion at the top)으로 qH=2q_H = 2이다.

  2. IRLIR_L이 맞아떨어지므로 tL=θLqL=4/7≈0.5714t_L = \theta_L q_L = 4/7 \approx 0.5714이고, 저유형의 효용은 UL=4/7−4/7=0U_L = 4/7 - 4/7 = 0이다. ICHIC_H가 맞아떨어지므로 tH=θHqH−(θH−θL)qL=4−4/7=24/7≈3.4286t_H = \theta_H q_H - (\theta_H - \theta_L)q_L = 4 - 4/7 = 24/7 \approx 3.4286이다.

  3. 고유형의 효용은 UH=2⋅2−24/7=4/7≈0.5714U_H = 2\cdot 2 - 24/7 = 4/7 \approx 0.5714이다.

    저유형 계약을 골랐을 때도 UH=2⋅(4/7)−4/7=4/7U_H = 2\cdot(4/7) - 4/7 = 4/7로 같으므로 ICHIC_H의 여유(slack)는 00이다.

    정보 지대는 (θH−θL)qL=4/7(\theta_H-\theta_L)q_L = 4/7 — 고유형이 정보를 쥐고 있다는 이유만으로 가져가는 몫이다.

    UH=47,tL=47,tH=247,rent=47U_H = \frac{4}{7}, \qquad t_L = \frac{4}{7}, \qquad t_H = \frac{24}{7}, \qquad \text{rent} = \frac{4}{7}

  4. 후생손실은 저유형의 왜곡에서만 나온다: (1−λ) [S(1,1)−S(1,4/7)]=0.7 (0.5−20/49)≈0.0643(1-\lambda)\,[S(1,1) - S(1,4/7)] = 0.7\,(0.5 - 20/49) \approx 0.0643.

같은 모형에서 λ=0.05\lambda = 0.05일 때 최적 메뉴를 구하고,

고유형이 드물수록 왜곡이 사라지지만 정보 지대는 커짐을 확인하라.

qL=1−0.050.95=1819≈0.9474q_L = 1 - \frac{0.05}{0.95} = \frac{18}{19} \approx 0.9474
λ=0.05\lambda = 0.05 — qL=18/19q_L = 18/19로 1차 최선에 거의 근접.
증명 보기

  1. qL=1−(0.05/0.95)⋅1=18/19≈0.9474q_L = 1 - (0.05/0.95)\cdot 1 = 18/19 \approx 0.9474로 1차 최선 qLFB=1q^{FB}_L = 1에 거의 닿는다. 고유형이 드물면 저유형을 왜곡할 이유가 줄어들기 때문이다.

  2. 정보 지대는 (θH−θL)qL=18/19≈0.9474(\theta_H-\theta_L)q_L = 18/19 \approx 0.9474로 오히려 커진다 — 고유형 계약의 품질 qH=2q_H = 2는 그대로인데 저유형 계약의 품질이 올라가 모방이 쉬워졌기 때문이다. 후생손실은 0.95 (0.5−180/361)≈0.00130.95\,(0.5 - 180/361) \approx 0.0013으로 거의 사라진다.

19. 역선택과 신호